Qualche piccolo problemino con le successioni

[Ghezzabanda]

Ciao! Sono sicuro che come al solito mi saprete aiutare!

Il problema dice quanto segue:
Sia $x_k$ una successione. Siano le sue sotto-successioni $x_{2k}$ , $x_{2k+1}$, $x_{5k}$ con $k>=0$ sue convergenti!
Dimostrare che la successione $x_k$ converge!

Dimostra o smentisci che se la successione sotto-successione $x_{pk}$ con $k>=0$ converge per qualunque numero primo $p$, allora converge anche la successione $x_k$


Un altra domandina: se una funzione converge io so che $EE n_o$ tale per cui$ AA n > n_0: ¦a_n-a¦< varepsilon$
quindi deve valere anche che $¦a_{n+1} - a¦

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Risposte

_luca.barletta

11 gen 2007, 20:01

"Ghezzabanda":
Un altra domandina: se una funzione converge io so che $EE n_o$ tale per cui$ AA n > n_0: ¦a_n-a¦< varepsilon$
quindi deve valere anche che $¦a_{n+1} - a¦

Dovresti cavartela così:

$|a_n - a_{n+1}|=|a_n-a_(n+1)+a-a|<=|a_n-a|+|a_(n+1)-a|$
ma poiché
$|a_n-a|rarr0$ e $|a_(n+1)-a|rarr0$ segue che $|a_n - a_{n+1}|rarr0$

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Thomas16

11 gen 2007, 20:03

1) traccia del primo:

- dimostra che se le successioni dei pari e dei dispari convergono allo stesso numero, allora l'intera successione converge;

- per dimostrare che i due limiti sono uguali, usa la terza successione che le controlla entrambe;

2) del secondo non capisco la notazione $x_pk$, quella k moltiplica?, o è un esponente?;

3) la terza domanda non è chiara; ps: (vedo ora che ha risposto luca... se chiedevi quello, buon per te )

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Ghezzabanda

11 gen 2007, 20:15

"Thomas":1) traccia del primo:

- dimostra che se le successioni dei pari e dei dispari convergono allo stesso numero, allora l'intera successione converge;

- per dimostrare che i due limiti sono uguali, usa la terza successione che le controlla entrambe;

2) del secondo non capisco la notazione $x_pk$, quella k moltiplica?, o è un esponente?;

3) la terza domanda non è chiara;

Grazie per la risposta!
Per il punto 2 ho sbagliato a scrivere! Doveva essere $x_{pk}$!

per la terza io ho il seguente problema:
Dimostrare che una successione convergente di numeri naturali, a partire da un certo punto in poi è costante.
e io ho impostato in questo modo

la funzione converge quindi deve valere che: $ AA varepsilon > 0 EE n_o$ tale per cui$ AA n > n_0: ¦a_n-a¦< varepsilon$. (dalla definizione di convergenza.
Siccome quella cosa vale $AA n > n_0$ sicuramente vale anche che $¦a_{n+1} - a¦
Quindi se io ora da questi due riuscissi a dimostrare che $¦a_n - a_{n+1}¦
Magari c'è una strada più breve, ma io avevo pensato di procedere così!

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Thomas16

11 gen 2007, 20:36

- l'idea c'è... guarda le stime di luca per correggere le tue... e ti consiglio di scrivere per bene i quantificatori...

- per fare il secondo forse è meglio che risolvi prima il primo con gli hint dati;

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Ghezzabanda

11 gen 2007, 20:39

"Thomas":- l'idea c'è... guarda le stime di luca per correggere le tue... e ti consiglio di scrivere per bene i quantificatori...

- per fare il secondo forse è meglio che risolvi prima il primo con gli hint dati;

Ma ho visto le luca fa tendere le cose a zero, io invece vorrei mettere epsilon uguale ad 1 e.....

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_luca.barletta

11 gen 2007, 20:41

a cosa ti serve $epsilon=1$?

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Ghezzabanda

11 gen 2007, 21:39

"luca.barletta":a cosa ti serve $epsilon=1$?

Per due motivi:
- il motivo principale è che il docente ha detto di farlo con $epsilon=1$
- secondariamente secondo la definizione di convergenza dovrebbe valere per qualunque $epsilon$ ma se prendo un epsilon che non tende proprio a zero, non so come diamine dimostrare quella cosa che mi hai fatto vedere tu!

"Thomas": e ti consiglio di scrivere per bene i quantificatori...

Affinché mi possa migliorare, cosa hanno i miei quantificatori che non vanno bene?

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Thomas16

11 gen 2007, 22:20

"Ghezzabanda":[quote="Thomas"]Quindi se io ora da questi due riuscissi a dimostrare che $¦a_n - a_{n+1}¦[/quote]

in questo punto non spefichi cosa fà la $n$... è vero, tante righe prima dai una definizione, ma conviene ripetere i quantificatori in ogni espressione usata... del resto se la $n$ è quella della definizione sopra (ovvero un qualsiasi n maggiore di n_0), la stima è falsa, anche se quasi vera... correggila dimostrando quella corretta con una triangolare come ha fatto luca...

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Thomas16

11 gen 2007, 22:50

"Thomas":[quote="Ghezzabanda"][quote="Thomas"]Quindi se io ora da questi due riuscissi a dimostrare che $¦a_n - a_{n+1}¦[/quote][/quote]

in questo punto non spefichi cosa fà la $n$... è vero, tante righe prima dai una definizione, ma conviene ripetere i quantificatori in ogni espressione usata... del resto se la $n$ è quella della definizione sopra (ovvero un qualsiasi n maggiore di n_0), la stima è falsa, anche se quasi vera... correggila dimostrando quella corretta con una triangolare come ha fatto luca (viene $2\epsilon$)...

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Cauchy1

11 gen 2007, 23:13

eheh... mi sto chiedendo dove vai a scuola.... il docente ha detto di farlo con epsilon <1 poi funziona... !!!

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Lando1

13 gen 2007, 14:48

"Ghezzabanda":

Dimostra o smentisci che se la successione sotto-successione $x_{pk}$ con $k>=0$ converge per qualunque numero primo $p$, allora converge anche la successione $x_k$

Io ho pensato a un esempio che dimostri che non è vero!

Sia $x_{pk}=1/(pk+1)$ quindi questa sotto-successione converge a zero!
Sia invece $x_k=1/(pk+1)$ se $x_k$ appartiene alla sottosuccessione $x_{pk}$, altrimenti $x_k=1/(pk+1)+1$
chiaramente questa successione non converge e quindi hai dimostrato che non è vero quanto dice il problema!

Io credo che sia giusto, ma non ne sono sicurissimo! Sono sicuro invece che qualcun'altro potrà correggermi oppure assicurare la correttezza del mio esempio!

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[_luca.barletta]

"Ghezzabanda":
Un altra domandina: se una funzione converge io so che $EE n_o$ tale per cui$ AA n > n_0: ¦a_n-a¦< varepsilon$
quindi deve valere anche che $¦a_{n+1} - a¦

Dovresti cavartela così:

$|a_n - a_{n+1}|=|a_n-a_(n+1)+a-a|<=|a_n-a|+|a_(n+1)-a|$
ma poiché
$|a_n-a|rarr0$ e $|a_(n+1)-a|rarr0$ segue che $|a_n - a_{n+1}|rarr0$

[Thomas16]

1) traccia del primo:

- dimostra che se le successioni dei pari e dei dispari convergono allo stesso numero, allora l'intera successione converge;

- per dimostrare che i due limiti sono uguali, usa la terza successione che le controlla entrambe;

2) del secondo non capisco la notazione $x_pk$, quella k moltiplica?, o è un esponente?;

3) la terza domanda non è chiara; ps: (vedo ora che ha risposto luca... se chiedevi quello, buon per te )

[Ghezzabanda]

"Thomas":1) traccia del primo:

- dimostra che se le successioni dei pari e dei dispari convergono allo stesso numero, allora l'intera successione converge;

- per dimostrare che i due limiti sono uguali, usa la terza successione che le controlla entrambe;

2) del secondo non capisco la notazione $x_pk$, quella k moltiplica?, o è un esponente?;

3) la terza domanda non è chiara;

Grazie per la risposta!
Per il punto 2 ho sbagliato a scrivere! Doveva essere $x_{pk}$!

per la terza io ho il seguente problema:
Dimostrare che una successione convergente di numeri naturali, a partire da un certo punto in poi è costante.
e io ho impostato in questo modo

la funzione converge quindi deve valere che: $ AA varepsilon > 0 EE n_o$ tale per cui$ AA n > n_0: ¦a_n-a¦< varepsilon$. (dalla definizione di convergenza.
Siccome quella cosa vale $AA n > n_0$ sicuramente vale anche che $¦a_{n+1} - a¦
Quindi se io ora da questi due riuscissi a dimostrare che $¦a_n - a_{n+1}¦
Magari c'è una strada più breve, ma io avevo pensato di procedere così!

[Thomas16]

- l'idea c'è... guarda le stime di luca per correggere le tue... e ti consiglio di scrivere per bene i quantificatori...

- per fare il secondo forse è meglio che risolvi prima il primo con gli hint dati;

[Ghezzabanda]

"Thomas":- l'idea c'è... guarda le stime di luca per correggere le tue... e ti consiglio di scrivere per bene i quantificatori...

- per fare il secondo forse è meglio che risolvi prima il primo con gli hint dati;

Ma ho visto le luca fa tendere le cose a zero, io invece vorrei mettere epsilon uguale ad 1 e.....

[_luca.barletta]

a cosa ti serve $epsilon=1$?

[Ghezzabanda]

"luca.barletta":a cosa ti serve $epsilon=1$?

Per due motivi:
- il motivo principale è che il docente ha detto di farlo con $epsilon=1$
- secondariamente secondo la definizione di convergenza dovrebbe valere per qualunque $epsilon$ ma se prendo un epsilon che non tende proprio a zero, non so come diamine dimostrare quella cosa che mi hai fatto vedere tu!

"Thomas": e ti consiglio di scrivere per bene i quantificatori...

Affinché mi possa migliorare, cosa hanno i miei quantificatori che non vanno bene?

[Thomas16]

"Ghezzabanda":[quote="Thomas"]Quindi se io ora da questi due riuscissi a dimostrare che $¦a_n - a_{n+1}¦[/quote]

in questo punto non spefichi cosa fà la $n$... è vero, tante righe prima dai una definizione, ma conviene ripetere i quantificatori in ogni espressione usata... del resto se la $n$ è quella della definizione sopra (ovvero un qualsiasi n maggiore di n_0), la stima è falsa, anche se quasi vera... correggila dimostrando quella corretta con una triangolare come ha fatto luca...

[Thomas16]

"Thomas":[quote="Ghezzabanda"][quote="Thomas"]Quindi se io ora da questi due riuscissi a dimostrare che $¦a_n - a_{n+1}¦[/quote][/quote]

in questo punto non spefichi cosa fà la $n$... è vero, tante righe prima dai una definizione, ma conviene ripetere i quantificatori in ogni espressione usata... del resto se la $n$ è quella della definizione sopra (ovvero un qualsiasi n maggiore di n_0), la stima è falsa, anche se quasi vera... correggila dimostrando quella corretta con una triangolare come ha fatto luca (viene $2\epsilon$)...

[Cauchy1]

eheh... mi sto chiedendo dove vai a scuola.... il docente ha detto di farlo con epsilon <1 poi funziona... !!!

[Lando1]

"Ghezzabanda":

Dimostra o smentisci che se la successione sotto-successione $x_{pk}$ con $k>=0$ converge per qualunque numero primo $p$, allora converge anche la successione $x_k$

Io ho pensato a un esempio che dimostri che non è vero!

Sia $x_{pk}=1/(pk+1)$ quindi questa sotto-successione converge a zero!
Sia invece $x_k=1/(pk+1)$ se $x_k$ appartiene alla sottosuccessione $x_{pk}$, altrimenti $x_k=1/(pk+1)+1$
chiaramente questa successione non converge e quindi hai dimostrato che non è vero quanto dice il problema!

Io credo che sia giusto, ma non ne sono sicurissimo! Sono sicuro invece che qualcun'altro potrà correggermi oppure assicurare la correttezza del mio esempio!