Qualche input per una dimostrazione di Analisi 1
Sia $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ derivabile
I) Si provi che se $\lim_{x \rightarrow + \infty} f'(x) = -1$ allora $\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = - \infty$
II) Si provi che se $\lim_{x \rightarrow + \infty} f'(x)$ esiste e vale $L \in \bar{\mathbb{R}} $ e $\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = -1$ allora $L=0$
III) Si provi che se $f$ è convessa allora esistono $\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x)$ e $\lim_{x \rightarrow - \infty} f'(x)$
Qualche idea ce l'ho ma mi sembrano tutte piuttosto informali...
Per esempio per il punto I) direi che in un intorno di $+\infty$ la derivata è negativa, allora la funzione è decrescente. Poi mostrerei che la f deve essere anche strettamente decrescente in quell'intorno (infatti se fosse solo decrescente potrebbero esserci dei tratti orizzontali ma in quel caso la derivata sarebbe 0 e non -1). A quel punto è chiaro che se è strettamente decrescente il limite all'infinito deve essere $-infty$.
Un'altra idea mi era venuta usando gli integrali (cioé se $f'(x)=-1$ in un intorno di $+infty$ allota la funzione $f(x)$ si comporterà in quell'intorno come $-x+c$, allora il limite deve essere $-infty$). Purtroppo questo esercizio è stato pensato per essere risolto senza gli integrali, quindi cerco una soluzione alternativa senza...
Per il III) invece sfrutterei un teorema che dice $f " derivabile e convessa" \Rightarrow f' " crescente"$, allora il limite dovrebbe essere o un numero reale o $+infty$...
Chi mi aiuta a formalizzare un po' queste idee o a farmi venire idee migliori??
I) Si provi che se $\lim_{x \rightarrow + \infty} f'(x) = -1$ allora $\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = - \infty$
II) Si provi che se $\lim_{x \rightarrow + \infty} f'(x)$ esiste e vale $L \in \bar{\mathbb{R}} $ e $\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = -1$ allora $L=0$
III) Si provi che se $f$ è convessa allora esistono $\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x)$ e $\lim_{x \rightarrow - \infty} f'(x)$
Qualche idea ce l'ho ma mi sembrano tutte piuttosto informali...
Per esempio per il punto I) direi che in un intorno di $+\infty$ la derivata è negativa, allora la funzione è decrescente. Poi mostrerei che la f deve essere anche strettamente decrescente in quell'intorno (infatti se fosse solo decrescente potrebbero esserci dei tratti orizzontali ma in quel caso la derivata sarebbe 0 e non -1). A quel punto è chiaro che se è strettamente decrescente il limite all'infinito deve essere $-infty$.
Un'altra idea mi era venuta usando gli integrali (cioé se $f'(x)=-1$ in un intorno di $+infty$ allota la funzione $f(x)$ si comporterà in quell'intorno come $-x+c$, allora il limite deve essere $-infty$). Purtroppo questo esercizio è stato pensato per essere risolto senza gli integrali, quindi cerco una soluzione alternativa senza...
Per il III) invece sfrutterei un teorema che dice $f " derivabile e convessa" \Rightarrow f' " crescente"$, allora il limite dovrebbe essere o un numero reale o $+infty$...
Chi mi aiuta a formalizzare un po' queste idee o a farmi venire idee migliori??
Risposte
I) Non è vero che se $f$ è strettamente monotona decrescente allora $\lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty$. Prendi ad esempio $f(x) = 1/x$ in $[1,+\infty)$.
Il punto qui è che la derivata è uniformemente negativa su tutta una semiretta: esiste cioè $x_0\in RR$ tale che $f'(x) \le -\frac{1}{2}$ per ogni $x\ge x_0$.
Quindi, se $x>x_0$, puoi applicare il teorema di Lagrange in $[x_0,x]$: per definizione di limite esiste un punto $c\in (x_0,x)$ tale che
$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(c) \le -\frac{1}{2}$,
da cui ricavi
$f(x) \le f(x_0) - \frac{x-x_0}{2}$.
Per il criterio del confronto concludi dunque che $\lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty$.
Il punto qui è che la derivata è uniformemente negativa su tutta una semiretta: esiste cioè $x_0\in RR$ tale che $f'(x) \le -\frac{1}{2}$ per ogni $x\ge x_0$.
Quindi, se $x>x_0$, puoi applicare il teorema di Lagrange in $[x_0,x]$: per definizione di limite esiste un punto $c\in (x_0,x)$ tale che
$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(c) \le -\frac{1}{2}$,
da cui ricavi
$f(x) \le f(x_0) - \frac{x-x_0}{2}$.
Per il criterio del confronto concludi dunque che $\lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty$.
Scusa se rispondo in ritardo, comunque grazie 1000 per l'aiuto!
L'esempio di 1/x mi ha chiarito molto bene l'errore che ho fatto. Grazie ancora e ciao!
L'esempio di 1/x mi ha chiarito molto bene l'errore che ho fatto. Grazie ancora e ciao!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo