Qualche dubbio sul concetto di differenziale
Salve,
ho la seguente funzione
[tex]f(x,y)=\frac{xy^{3/2}}{x^2+y^2} in (x,y)\not=(0,0)[/tex]
[tex]f(x,y)=0 in (x,y)=(0,0)[/tex]
l'esericizio chiede se è continua: si
se esistono le derivate in (0,0): si e fanno tutt'e due zero (facendo il conto a mano con la definizione di derivata)
se è differenziabile: ecco il problema.
So che la definizione di differenziale è
[tex]df'{(x_0,y_0)}= {f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) + o(h,k)}[/tex]
e dunque voglio che
[tex]\lim_{(h,k) \to (0,0)}\frac{f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) - df'{(x_0,y_0)}}{\sqrt{h^2+k^2}}= 0[/tex]
la formula di sopra diventa
ma cosa è [tex]df'{(x_0,y_0)}[/tex]?
so che se il differenziale esiste è fatto dal gradiente applicato all'incremento
[tex]df'{(x_0,y_0)}= \nabla f (h,k)= (\frac{\partial f}{\partial x}h,\frac {\partial f}{\partial y}k)[/tex]
quindi
la formula di sopra diventa
[tex]\lim_{(h,k) \to (0,0)}\frac{f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) - \frac{\partial f}{\partial x}h - \frac {\partial f}{\partial y}k}{\sqrt{h^2+k^2}}= 0[/tex]
fino a qui è tutto giusto?
quindi nel mio caso se voglio vedere se è differenziabile in (0,0) scrivo
[tex]\lim_{(h,k) \to (0,0)}\frac{f(0+h,0+k) - f(0,0) - \frac{\partial f(0,0)}{\partial x}h - \frac {\partial f(0,0)}{\partial y}k}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
[tex]\lim_{(h,k) \to (0,0)}\frac{ \frac{h{k^(3/2)}}{{h^2}+k^2} - 0 - 0h - 0k}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
[tex]\lim_{(h,k) \to (0,0)}\frac{h{k}^(3/2)}{{(h^2+k^2)^(3/2)}}[/tex]
e se passo in coordinate polari mi accordo che il limite va ad infinito e non esiste, è giusto? grazie ...
P.S.: i [tex]3/2[/tex] che vedete vicino alla k sono degli elevamenti, non riesco a trovare l'errore nella formattazione,
ho la seguente funzione
[tex]f(x,y)=\frac{xy^{3/2}}{x^2+y^2} in (x,y)\not=(0,0)[/tex]
[tex]f(x,y)=0 in (x,y)=(0,0)[/tex]
l'esericizio chiede se è continua: si
se esistono le derivate in (0,0): si e fanno tutt'e due zero (facendo il conto a mano con la definizione di derivata)
se è differenziabile: ecco il problema.
So che la definizione di differenziale è
[tex]df'{(x_0,y_0)}= {f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) + o(h,k)}[/tex]
e dunque voglio che
[tex]\lim_{(h,k) \to (0,0)}\frac{f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) - df'{(x_0,y_0)}}{\sqrt{h^2+k^2}}= 0[/tex]
la formula di sopra diventa
ma cosa è [tex]df'{(x_0,y_0)}[/tex]?
so che se il differenziale esiste è fatto dal gradiente applicato all'incremento
[tex]df'{(x_0,y_0)}= \nabla f (h,k)= (\frac{\partial f}{\partial x}h,\frac {\partial f}{\partial y}k)[/tex]
quindi
la formula di sopra diventa
[tex]\lim_{(h,k) \to (0,0)}\frac{f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) - \frac{\partial f}{\partial x}h - \frac {\partial f}{\partial y}k}{\sqrt{h^2+k^2}}= 0[/tex]
fino a qui è tutto giusto?
quindi nel mio caso se voglio vedere se è differenziabile in (0,0) scrivo
[tex]\lim_{(h,k) \to (0,0)}\frac{f(0+h,0+k) - f(0,0) - \frac{\partial f(0,0)}{\partial x}h - \frac {\partial f(0,0)}{\partial y}k}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
[tex]\lim_{(h,k) \to (0,0)}\frac{ \frac{h{k^(3/2)}}{{h^2}+k^2} - 0 - 0h - 0k}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
[tex]\lim_{(h,k) \to (0,0)}\frac{h{k}^(3/2)}{{(h^2+k^2)^(3/2)}}[/tex]
e se passo in coordinate polari mi accordo che il limite va ad infinito e non esiste, è giusto? grazie ...
P.S.: i [tex]3/2[/tex] che vedete vicino alla k sono degli elevamenti, non riesco a trovare l'errore nella formattazione,
Risposte
Secondo me hai sbagliato a riportare il testo perchè quella funzione non è nemmeno continua nell'origine, ti basta considerare la restrizione all'asse x è hai $f(x,0)=1/x -> pmoo$ per $x->0^(pm)$, quindi se il limite esiste di certo non è $0$.
Se fosse continua il resto andrebbe bene, nel senso che se l'ultimo limite che hai scritto applicando la definizione di differenziabilità non esiste o non è 0 allora ovviamente puoi concludere che non è differenziabile.
Però hai scritto una cosa poco corretta, nel senso non puoi dire che il limite va ad infinito e non esiste: o é $+oo$ o non esiste, in ogni caso se esiste deve essere unico!
Comunque ci sono altri modi più veloci per verificarne la differenziabilità.
Per esempio puoi controllare che il valore di ogni derivata direzionale nel punto, calcolata nella direzione del versore generico $ul(v)=(alpha,beta)$, dipenda linearmente dalle componenti del versore, se così non è salta una condizione necessaria alla differenziabilità in un punto.
Questo ovviamente lo fai dopo aver verificato che esista ogni derivata direzionale (altra condizione necessaria), ma lo puoi verificare dallo stesso limite (derivata direzionale rispetto al generico versore $ul(v)$).
Se fosse continua il resto andrebbe bene, nel senso che se l'ultimo limite che hai scritto applicando la definizione di differenziabilità non esiste o non è 0 allora ovviamente puoi concludere che non è differenziabile.
Però hai scritto una cosa poco corretta, nel senso non puoi dire che il limite va ad infinito e non esiste: o é $+oo$ o non esiste, in ogni caso se esiste deve essere unico!
Comunque ci sono altri modi più veloci per verificarne la differenziabilità.
Per esempio puoi controllare che il valore di ogni derivata direzionale nel punto, calcolata nella direzione del versore generico $ul(v)=(alpha,beta)$, dipenda linearmente dalle componenti del versore, se così non è salta una condizione necessaria alla differenziabilità in un punto.
Questo ovviamente lo fai dopo aver verificato che esista ogni derivata direzionale (altra condizione necessaria), ma lo puoi verificare dallo stesso limite (derivata direzionale rispetto al generico versore $ul(v)$).
"Giuly19":
Secondo me hai sbagliato a riportare il testo perchè quella funzione non è nemmeno continua nell'origine, ti basta considerare la restrizione all'asse x è hai $f(x,0)=1/x -> pmoo$ per $x->0^(pm)$, quindi se il limite esiste di certo non è $0$.
Decisamente sbagliato a riportare il testo: al numeratore non c'è il più che ho messo tra x e y ... corretto, e così è continua.
Grazie mille ...
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