Quadrato sommabile e limiti
salve a tutti,
ho un problema con un argomento di teoria dei segnali:
dato un segnale di energia, ovvero a quadrato sommabile:
$ int_(-oo )^(+oo ) x(t)dt < +oo $
allora
$ lim_(t -> pmoo) [tx^2(t)] = 0 $
e mi sfugge il motivo!
cioè che il limite per x^2 che tende a più o meno infinito faccia zero va bene, perchè sennò l'integrale non convergerebbe, ma chi mi dice che se lo moltiplico per t la relazione vale ancora??
ho un problema con un argomento di teoria dei segnali:
dato un segnale di energia, ovvero a quadrato sommabile:
$ int_(-oo )^(+oo ) x(t)dt < +oo $
allora
$ lim_(t -> pmoo) [tx^2(t)] = 0 $
e mi sfugge il motivo!
cioè che il limite per x^2 che tende a più o meno infinito faccia zero va bene, perchè sennò l'integrale non convergerebbe, ma chi mi dice che se lo moltiplico per t la relazione vale ancora??
Risposte
Ciao. 
Immagino che tu volessi scrivere $int_(-oo)^(+oo) x^2(t)dt<+oo$ (visto che parli di funzioni a quadrato sommabile, cioè in $L^2$). Giusto?
In questo momento non mi viene in mente nulla per il tuo problema specifico, solo mi pare giusto ricordarti che gli integrali impropri non sono come le serie e dunque il fatto che l'integrando vada a zero NON è una condizione necessaria (né tantomeno sufficiente). Infatti il limite potrebbe anche non esistere (prendi $int_1^(+oo) cos(x^2)dx$).
Immagino che tu volessi scrivere $int_(-oo)^(+oo) x^2(t)dt<+oo$ (visto che parli di funzioni a quadrato sommabile, cioè in $L^2$). Giusto?
In questo momento non mi viene in mente nulla per il tuo problema specifico, solo mi pare giusto ricordarti che gli integrali impropri non sono come le serie e dunque il fatto che l'integrando vada a zero NON è una condizione necessaria (né tantomeno sufficiente). Infatti il limite potrebbe anche non esistere (prendi $int_1^(+oo) cos(x^2)dx$).
Purtroppo sui testi di teoria dei segnali certi abusi sono all'ordine del giorno. Si sta confondendo l'essere $x(t)$ a quadrato sommabile con l'essere $x(t)$ infinitesima all'infinito di ordine sufficientemente grande (direi $x(t)=O(t^{1+epsilon})$ per un $epsilon>0$, ma non sono sicurissimo). Le due cose non sono equivalenti.
esatto credo che il problema sia quello!!
quindi se x(t) è a quadrato sommabile come posso concludere che t*x^2(t) tenda a zero all'infinito?
e sopratutto, posso fare questa conclusione?
quindi se x(t) è a quadrato sommabile come posso concludere che t*x^2(t) tenda a zero all'infinito?
e sopratutto, posso fare questa conclusione?
No, non puoi. Quella conclusione infatti è falsa: un controesempio si può costruire adattando quello visto in
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#351802
dove tra l'altro si è discusso di un argomento molto simile a questo.
Quella proposizione è vera "in pratica", ma non "in teoria", mettiamola così. Questo perché "in pratica" per verificare che un segnale continuo sia di quadrato sommabile tu verifichi che abbia un decadimento all'infinito sufficientemente forte, da cui segue l'annullamento di quel limite.
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#351802
dove tra l'altro si è discusso di un argomento molto simile a questo.
Quella proposizione è vera "in pratica", ma non "in teoria", mettiamola così. Questo perché "in pratica" per verificare che un segnale continuo sia di quadrato sommabile tu verifichi che abbia un decadimento all'infinito sufficientemente forte, da cui segue l'annullamento di quel limite.
Vado un po' OT perchè l'esempio di Paolo mi ha risvegliato un vecchio dubbio. Considerando appunto i cosiddetti integrali di Fresnel
[tex]$\int_0^{+\infty} \cos(t^2) dt = \int_0^{+\infty} \sin(t^2) dt = \sqrt{ \frac{\pi}{8} }$[/tex]
ho capito come si calcolano questi valori utilizzando il teorema di Cauchy ed un opportuno circuito, cioè il bordo di una fetta di piano larga 45 gradi, l'unica cosa di cui non riesco a capacitarmi è che questi integrali convergano...la mia domanda quindi è: in che senso si può dire che quegli integrali convergono?
Confrontandomi con degli amici in passato mi era stato detto che la convergenza è da intendersi nel senso delle distribuzioni, un po' come il Teorema di Riemann-Lebesgue insomma, ma la cosa non mi convinse molto.
[tex]$\int_0^{+\infty} \cos(t^2) dt = \int_0^{+\infty} \sin(t^2) dt = \sqrt{ \frac{\pi}{8} }$[/tex]
ho capito come si calcolano questi valori utilizzando il teorema di Cauchy ed un opportuno circuito, cioè il bordo di una fetta di piano larga 45 gradi, l'unica cosa di cui non riesco a capacitarmi è che questi integrali convergano...la mia domanda quindi è: in che senso si può dire che quegli integrali convergono?
Confrontandomi con degli amici in passato mi era stato detto che la convergenza è da intendersi nel senso delle distribuzioni, un po' come il Teorema di Riemann-Lebesgue insomma, ma la cosa non mi convinse molto.
Ma cosa c'entrano le distribuzioni con la convergenza degli integrali. E meno ancora c'entra con le distribuzioni il teorema di Riemann-Lebesgue!!! Regola d'oro: di amici e colleghi di corso, mai fidarsi: dicono un sacco di ***.
Comunque, alle.fabbri, io direi di aspettare un po' a parlare di questo, aspettiamo che Alberto abbia chiarito il suo dubbio altrimenti rischiamo di mandarlo fuori strada.
Comunque, alle.fabbri, io direi di aspettare un po' a parlare di questo, aspettiamo che Alberto abbia chiarito il suo dubbio altrimenti rischiamo di mandarlo fuori strada.
[OT]
Quegli integrali convergono nel senso del valore principale, come tutti gli integrali di funzioni non sommabili che si calcolano con i metodi dell'Analisi Complessa. Ne avevo parlato tempo fa qui: dacci uno sguardo.
[/OT]
"alle.fabbri":
Considerando appunto i cosiddetti integrali di Fresnel
[tex]$\int_0^{+\infty} \cos(t^2) dt = \int_0^{+\infty} \sin(t^2) dt = \sqrt{ \frac{\pi}{8} }$[/tex]
ho capito come si calcolano [...] la mia domanda quindi è: in che senso si può dire che quegli integrali convergono?
Quegli integrali convergono nel senso del valore principale, come tutti gli integrali di funzioni non sommabili che si calcolano con i metodi dell'Analisi Complessa. Ne avevo parlato tempo fa qui: dacci uno sguardo.
[/OT]
ok dissonance, grazie!
mi sono quasi convinto, nel senso che una funzione descritta nel tuo controesempio mi sembra un pò improbabile possa modellare un segnale reale! quindi diciamo che il passaggio è euristicamnete giustificato dal fatto che stiamo trattando funzioni che descrivono comportamenti di grandezze fisiche.
mi sono quasi convinto, nel senso che una funzione descritta nel tuo controesempio mi sembra un pò improbabile possa modellare un segnale reale! quindi diciamo che il passaggio è euristicamnete giustificato dal fatto che stiamo trattando funzioni che descrivono comportamenti di grandezze fisiche.
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