Quadrato di una funzione

[Alberto881]

mi assalgono dei dubbi sull'elevamento al quadrato di una funzione; se ho una funzione definita in un certo intervallo di R, e la elevo alquadrato, la funzione elevata al quadrato è definita comunque nel dominio di partenza? oppure può succedere che il dominio si allarghi? faccio un esempio, per essere più esplicativo:

se ho

$ f(x)=1/sqrt(1-x^2) $

e in seguito la elevo al quadrato, nell'intervallo [-1,1] la funzione sarà uguale a:

$ g(x)=1/(1-x^2) $

e altrove?

se prendiamo g(x), questa è definita su tutto R, ad eccezione di $ pm 1 $ ; ma se la guardiamo come il quadrato della funzione f(x), sarà definita solo nell'intervallo di partenza [-1,1], o l'intervallo verrà esteso a R-{-1,1}?

In altre parole quali delle seguenti affermazioni è vera?
- $ f(x)^2 = g(x) $
- $ f(x)^2 = g(x) $ ristretto all'intervallo [-1,1];

[dissonance]

Questo è quello che succede quando si usa un linguaggio impreciso. Tipicamente a scuola superiore si parla di "dominio" di una funzione in modo improprio, il termine corretto sarebbe "dominio massimale". Il dominio di una funzione infatti è qualcosa che va assegnato a priori ed è parte integrante della definizione stessa di funzione: possiamo definire, ad esempio

$f: [0, 1] \to RR, f(x)=x$

e

$g: [1, 2] \to RR, g(x)=x$

e queste due funzioni sono diverse, pur avendo la stessa espressione analitica. [size=75](*)[/size]

Allora, quando in quei micidiali esercizi di scuola ci veniva richiesto di "trovare il dominio di una funzione", la domanda era priva di senso, visto che una funzione non è assegnata finché non ne sia noto il dominio? Certo. Tutti quegli esercizi sono scritti male, sono fuorvianti, andrebbero aboliti e chi li ha inventati andrebbe appeso per il collo.

Infatti, la richiesta che si fa in quei casi andrebbe riformulata così. Sia assegnata una espressione analitica, ad esempio $1/(1+x)$. Qual è il più grande insieme di numeri reali in cui $x$ può assumere valore senza che questa espressione perda di significato? Nel nostro caso tale insieme, chiamiamolo $A$, è $(-infty, -1)uu(-1, +infty)$: una volta introdotto questo insieme, resta definita una funzione, diciamo $f$:

$f:A \to RR,\ f(x)=1/(1+x)$.

Ovvero, solo alla fine dell'esercizio è ben definita una funzione. Prima no: c'è sì l'espressione analitica ma manca un ingrediente essenziale, il dominio. Possiamo condensare la richiesta dell'esercizio dicendo: "trovare il dominio massimale di definizione per una funzione avente espressione analitica $1/(1+x)$".

Ora veniamo alla questione del quadrato. Se una funzione $f$ è definita su un insieme $A$ allora il proprio quadrato $g$ sarà definito sempre su $A$, non c'è nulla da aggiungere:

$g: A \to RR, g(x)=[f(x)]^2$.

E' chiaro però che manipolando formalmente una espressione analitica, può tranquillamente succedere che il più grande insieme su cui ha senso il quadrato sia diverso dall'insieme su cui ha senso l'espressione analitica data. Niente di strano: prendendo formalmente il quadrato di $sqrt(x)$ si ottiene $|x|$: la prima espressione ha senso per $x ge 0$, la seconda per ogni $x$ reale.

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(*) Questa non è una astruseria matematica buona solo per gli studenti del primo anno. Considerazioni analoghe a questa sono molto importanti, ad esempio, in meccanica quantistica. Ci sono articoli interi sulla determinazione di un opportuno dominio per certi operatori dei quali è nota solo l'espressione analitica.