Quadrato di un trinomio con gli "o piccoli"
salve a tutti mi sono imbattuto in un esercizio svolto e mi sono bloccato ad un passaggio che non mi è chiaro per niente.
\(\displaystyle \sin^2(x)=(x-\frac{x^2}{6}+o(x^3))^2=x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4) \)
il primo passaggio sarebbe lo sviluppo di Mc Laurin, ma il secondo proprio non l'ho capito. come l'hanno sviluppato il quadrato? grazie per le eventuali risposte.
\(\displaystyle \sin^2(x)=(x-\frac{x^2}{6}+o(x^3))^2=x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4) \)
il primo passaggio sarebbe lo sviluppo di Mc Laurin, ma il secondo proprio non l'ho capito. come l'hanno sviluppato il quadrato? grazie per le eventuali risposte.
Risposte
L'hanno sviluppato normalmente, ma poi hanno accorpato tutti gli infinitesimi d'ordine superiore insieme dentro un \(\text{o}(x^4)\).
non è che mi potresti scrivere tutti i passaggi perchè è un ora che sto cercando di venirne a capo ma proprio non ci riesco..XD
Prova a sviluppare il quadrato, innanzitutto, poi vediamo.
il problema è che non so come comportarmi con gli "o piccoli"
Hai:
\[
\begin{split}
\sin^2(x) &\approx (x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))^2\\
&= x^2 -\frac{1}{3}\ x^4 +\underbrace{2\ x\ \text{o}(x^3)}_{\color{red}{=\text{o}(x^4)}}+\underbrace{\frac{1}{36}\ x^6}_{\color{red}{=\text{o}(x^5)}} -\underbrace{\frac{1}{3}\ x^3\ \text{o}(x^3)+\Big(\text{o}(x^3)\Big)^2}_{\color{red}{\text{o}(x^6)}}\\
&= x^2 -\frac{1}{3}\ x^4 + \text{o}(x^4)\; .
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
\sin^2(x) &\approx (x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))^2\\
&= x^2 -\frac{1}{3}\ x^4 +\underbrace{2\ x\ \text{o}(x^3)}_{\color{red}{=\text{o}(x^4)}}+\underbrace{\frac{1}{36}\ x^6}_{\color{red}{=\text{o}(x^5)}} -\underbrace{\frac{1}{3}\ x^3\ \text{o}(x^3)+\Big(\text{o}(x^3)\Big)^2}_{\color{red}{\text{o}(x^6)}}\\
&= x^2 -\frac{1}{3}\ x^4 + \text{o}(x^4)\; .
\end{split}
\]
sinceramente non ho capito perchè raggruppi in quel modo gli "o piccoli". perchè
\(\displaystyle 2x o(x^3)=o(x^4) \)
\(\displaystyle \frac{1}{36}\ x^6=o(x^5) \)
\(\displaystyle -\frac{1}{3}\ x^3 o(x^3)+(o(x^3))^2=o(x^6) \)
e poi non ho capito perchè quando accorpi tutti gli infinitesimi d'ordine superiore insieme dentro un \(\displaystyle o(x^4) \) elimini semplicemente gli altri. non è che hai qualche parte di teoria sugli "o piccoli" da suggerirmi? grazie
\(\displaystyle 2x o(x^3)=o(x^4) \)
\(\displaystyle \frac{1}{36}\ x^6=o(x^5) \)
\(\displaystyle -\frac{1}{3}\ x^3 o(x^3)+(o(x^3))^2=o(x^6) \)
e poi non ho capito perchè quando accorpi tutti gli infinitesimi d'ordine superiore insieme dentro un \(\displaystyle o(x^4) \) elimini semplicemente gli altri. non è che hai qualche parte di teoria sugli "o piccoli" da suggerirmi? grazie
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