Quadrato dei numeri naturali

[gius.bruno]

E' giusto?

$ 4sum_{n=1}^a n^2 - sum_{n=1, n=2k-1}^{2a-1}n^2 = 2a^2+a $

Se volete ho la dimostrazione anche se è un po' lunga da scrivere

[lucillina1]

Se vuoi scriverci i conti della dimostrazione, te la controlleremo

[gius.bruno]

$4sum_{n=1}^a n^2 - sum_{n=1, n=2k-1}^{2a-1}n^2 = 2a^2+a$

Dato che la differenza tra i quadrati di due numeri dispari è sempre un multiplo di 8 abbiamo:
$ d=2k-1 $
$ d^2=1+1*8+2*8+... k*8=1+ (k(k+1))/2*8=1+4k(k+1)$
Perciò:
$ sum_{n=1, n=2k-1}^{2a-1}n^2 = sum_{n=1}^{a}1+4k(k-1) $

$1+4*1*(1-1)+1+4*2*(2-1)+...=$
$=α+4*1*(1-1)+4*1×*2-1)...=$
$=α+4[1(1-1)+2(2-1)...]= $
$=α+4(1^2-1+2^2-2...)=$
$=α+4(1^2+2^2...-(α(α+1))/2)= $
$=α+1^2*4+2^2*4...-(α(α+1))/2*4=$
$=α + 4sum_{n=1}^a n^2 -2α(α+1)=$
$=4sum_{n=1}^a n^2-2α^2-α=$
$=sum_{n=1, n=2k-1}^{2a-1}n^2$
Da cui si arriva a:
$4sum_{n=1}^a n^2 - sum_{n=1, n=2k-1}^{2a-1}n^2 = 2a^2+a$

Scusate se c'è qualche errore di impostazione ma ho solo 13 anni e perciò queste cose non le ho ancora studiate a scuola...

[poncelet]

[ot]

"gius.bruno":
Se volete ho la dimostrazione anche se è un po' lunga da scrivere

Questa affermazione mi ricorda qualcosa...

[\ot]