Può l'insieme immagine essere un singolo valore?
Il testo mi chiede di determinare l'insieme immagine dell'intervallo $[1,+infty[$ tramite $f$. La funzione è
$f(x)=log(1+sqrt(x^2-1))-logx$
facendo i limiti per 1 ed infinito mi viene sempre 0. Che vuol dire?
$f(x)=log(1+sqrt(x^2-1))-logx$
facendo i limiti per 1 ed infinito mi viene sempre 0. Che vuol dire?
Risposte
a titolo rispondo: certo che è possibile, vale per tutte le funzioni costanti.
per quanto riguarda invece questa funzione, vuol dire solo quello che hai scritto.
$f(1)=0$, $f(x)>0" "AA x>1$. studiando la funzione, si scopre che ha max in $(sqrt2, log sqrt2)$, per cui l'immagine è $[0, log sqrt2]$.
OK?
per quanto riguarda invece questa funzione, vuol dire solo quello che hai scritto.
$f(1)=0$, $f(x)>0" "AA x>1$. studiando la funzione, si scopre che ha max in $(sqrt2, log sqrt2)$, per cui l'immagine è $[0, log sqrt2]$.
OK?
Veramente non ho capito. Non serve fare solo i limiti agli estremi del campo di esistenza per calcolare l'insieme immagine? Avevo postato anche un altro caso del genere ma nessuno mi ha risposto.
Avevo questa funzione $ f(x)=log[sqrt(x^2+3x+2)-(x+1)] $. Il dominio mi è venuto $ ]-infty,-2]uu[-2,-1[uu]-1,+infty[ $.
Facendo i limiti agli estremi ho trovato che
$ lim_(x -> -infty) f(x)=infty $
$ lim_(x -> -2) f(x)=0 $
$ lim_(x -> -1larr ) f(x)!= $ (non esiste)
$ lim_(x -> -1rarr ) f(x)=-infty $
$ lim_(x -> +infty) f(x)=-log(2) $
vuol dire che l'insieme immagine è $]-infty,-log(2)-log(2),+infty[$ o non ho capito bene come si calcola?
Avevo questa funzione $ f(x)=log[sqrt(x^2+3x+2)-(x+1)] $. Il dominio mi è venuto $ ]-infty,-2]uu[-2,-1[uu]-1,+infty[ $.
Facendo i limiti agli estremi ho trovato che
$ lim_(x -> -infty) f(x)=infty $
$ lim_(x -> -2) f(x)=0 $
$ lim_(x -> -1larr ) f(x)!= $ (non esiste)
$ lim_(x -> -1rarr ) f(x)=-infty $
$ lim_(x -> +infty) f(x)=-log(2) $
vuol dire che l'insieme immagine è $]-infty,-log(2)-log(2),+infty[$ o non ho capito bene come si calcola?
se la funzione è strettamente monotòna, basta trovare i due limiti o giù di lì. se i due limiti sono uguali, vuol dire che o la funzione è costante ed in tal caso c'è un solo valore, oppure non è costante come in questo caso e non può nemmeno essere strettamente monotòna, per cui va studiato l'andamento. in questo caso si ha un massimo per $x=sqrt2$, mentre il minimo è $f(1)=0$, dunque il codominio va da $0$ a $f(sqrt2)$, perché è crescente in $(1,sqrt2)$ e decrescente in $(sqrt2, +oo)$: il testo dice di studiarla solo in $[1,+oo)$. spero sia chiaro.
per la richiesta del problema, i calcoli di tutti quei limiti non servono.
un'ultima notazione: se vuoi escludere $-2$ dal dominio, non devi usare le parentesi quadre in quel modo, perché così significa compreso -2: se intendevi comprenderlo, è inutile staccare i due insiemi di estremi -2.
facci sapere. ciao.
per la richiesta del problema, i calcoli di tutti quei limiti non servono.
un'ultima notazione: se vuoi escludere $-2$ dal dominio, non devi usare le parentesi quadre in quel modo, perché così significa compreso -2: se intendevi comprenderlo, è inutile staccare i due insiemi di estremi -2.
facci sapere. ciao.
I limiti degli estremi dell'insieme di definizione corrispondono agli estremi dell'immagine solo se rappresentano rispettivamente il massimo e il minimo assoluto. Ma non è assolutamente detto che sia così!
Una condizione sufficiente a questo è la monotonia.
A dimostrazione di quello che dico, considera semplicemente $x^2$. Se fai i limiti per $x -> +infty$ e per $x -> -infty$ hai in entrambi i casi come risultato il valore $+infty$. Eppure, sai benissimo che l'immagine di $x^2$ non è l'insieme ${+infty}$, ma l'intervallo $ [ 0, +infty ) $!
Per determinare l'intervallo in cui l'immagine è definita (in generale), devi considerare invece massimi e minimi e stare attento in prossimità di discontinuità.
Una condizione sufficiente a questo è la monotonia.
A dimostrazione di quello che dico, considera semplicemente $x^2$. Se fai i limiti per $x -> +infty$ e per $x -> -infty$ hai in entrambi i casi come risultato il valore $+infty$. Eppure, sai benissimo che l'immagine di $x^2$ non è l'insieme ${+infty}$, ma l'intervallo $ [ 0, +infty ) $!
Per determinare l'intervallo in cui l'immagine è definita (in generale), devi considerare invece massimi e minimi e stare attento in prossimità di discontinuità.
Quindi per calcolarmi l'inisieme immagine:
1) mi calcolo il campo di esistenza;
2) mi studio il segno della derivata prima;
3) dove il segno cambia da + a - avrò un massimo e da - a + un minimo. Insieme a questo debbo considerare il campo di esistenza ed escludere quei valori che pur sembrando punti di massimo o minimo, essi non appartengono al CE. Così mi trovo l'insieme immagine.
Tutto giusto?
1) mi calcolo il campo di esistenza;
2) mi studio il segno della derivata prima;
3) dove il segno cambia da + a - avrò un massimo e da - a + un minimo. Insieme a questo debbo considerare il campo di esistenza ed escludere quei valori che pur sembrando punti di massimo o minimo, essi non appartengono al CE. Così mi trovo l'insieme immagine.
Tutto giusto?
Per esempio nella seconda funzione che ho postato, cioè $f(x)=log[sqrt(x^2+3x+2)-(x+1)]$ ho studiato la dervata prima che è:
$ { ( y'=0 per x=-(sqrt(2)+2)/2,x=(sqrt(2)-2)/2 ) , ( y'>0 per -2(sqrt(2)-2)/2 ):} $
allora escludo il punto $x=-1$ che non appartenente al campo di esistenza. I punti $x=-(sqrt(2)+2)/2$ e $x=(sqrt(2)-2)/2$sono punti di massimo.
E con $x=-2$ che ci faccio?
$ { ( y'=0 per x=-(sqrt(2)+2)/2,x=(sqrt(2)-2)/2 ) , ( y'>0 per -2
allora escludo il punto $x=-1$ che non appartenente al campo di esistenza. I punti $x=-(sqrt(2)+2)/2$ e $x=(sqrt(2)-2)/2$sono punti di massimo.
E con $x=-2$ che ci faccio?
sì, anche se valori isolati esclusi dal dominio, come anche gli altri estremi del dominio, vanno considerati in particolare per i limiti: pensa un po' quante informazioni ti dà, sul codominio, trovare i limiti destro e sinistro, ad esempio per $x->1$, della semplice funzione $f(x)=(x^2-x-2)/(x^2+x-2)$ !
io mi ero persa con il "cambio di funzione". il dominio non comprende il secondo intervallo che avevi scritto:
è l'intersezione tra $(-oo,-2]uu[-1,+oo)$ e la soluzione della disequazione $sqrt(x^2+3x+2)-(x+1)>0$, dunque viene $(-oo,-2]uu(-1,+oo)$, se non ho sbagliato i calcoli. in questo caso vanno calcolati: $f(-2), lim_(x->-oo) f(x),lim_(x->-1^+) f(x),lim_(x->+oo) f(x)$, oltre a studiare il segno della derivata prima e trovare eventuali valori di massimo e minimo.
spero di essermi spiegata, almeno ora. facci sapere. ciao.
è l'intersezione tra $(-oo,-2]uu[-1,+oo)$ e la soluzione della disequazione $sqrt(x^2+3x+2)-(x+1)>0$, dunque viene $(-oo,-2]uu(-1,+oo)$, se non ho sbagliato i calcoli. in questo caso vanno calcolati: $f(-2), lim_(x->-oo) f(x),lim_(x->-1^+) f(x),lim_(x->+oo) f(x)$, oltre a studiare il segno della derivata prima e trovare eventuali valori di massimo e minimo.
spero di essermi spiegata, almeno ora. facci sapere. ciao.
"adaBTTLS":
io mi ero persa con il "cambio di funzione". il dominio non comprende il secondo intervallo che avevi scritto:
è l'intersezione tra $(-oo,-2]uu[-1,+oo)$ e la soluzione della disequazione $sqrt(x^2+3x+2)-(x+1)>0$, dunque viene $(-oo,-2]uu(-1,+oo)$, se non ho sbagliato i calcoli. in questo caso vanno calcolati: $f(-2), lim_(x->-oo) f(x),lim_(x->-1^+) f(x),lim_(x->+oo) f(x)$, oltre a studiare il segno della derivata prima e trovare eventuali valori di massimo e minimo.
spero di essermi spiegata, almeno ora. facci sapere. ciao.
Onestamente mi sono un pò perso con tutte queste discussioni...
Se partissimo tipo da zero?
Ho ormai la famosa funzione $f(x)= log[sqrt(x^2+3x+2)-(x+1)]$ che ha come dominio $(-infty,-2]U(-1,+infty)$
Con la derivata prima mi sono trovato che i punti $x=-(sqrt(2)+2)/2$ e $x=(sqrt(2)-2)/2$ sono punti di massimo. (qui non ho capito cosa sia in punto $x=-2$ che sembra un punto di minimo, ma non mi annulla la derivata prima. Cos'è allora?)
Arrivato a questo punto, mi potresti dire come per esempio mi trovo l'insieme immagine di questa funzione? Mi risolveresti un grande dubbio.
Ps:debbo darle del lei?
i punti in cui si annulla la derivata prima sono semplicemente i cosiddetti punti stazionari, cioè i punti tali che la tangente al grafico è orizzontale.
hai presenti i teoremi sulle funzioni continue e i teoremi sulle funzioni derivabili? Bolzano, Weierstrass, e soprattutto Rolle e Lagrange?
i massimi e minimi, se ci sono, sono agli estremi del dominio o in punti critici di non derivabilità della funzione, o, in punti in cui la funzione è derivabile è possibile solo se la derivata è nulla.
insomma, l'andamento della funzione, in particolare lo studio del segno della derivata prima, ti dà indicazioni in generale per quasi tutti i punti, ma a parte devi considerare i punti in cui la funzione non è derivabile e gli estremi del dominio.
mettiamo in ordine i valori trovati da te:
$-oo<-2<-(sqrt2-2)/2<-1<(sqrt2-2)/2<+oo$.
dunque $-(sqrt2-2)/2$ non va considerato perché né appartiene al domino né ne è un suo estremo.
in $-2$ la funzione è ben definita, dunque si può trovare $f(2)$, anche senza ricorrere al limite (tieni presente che esiste il limite sinistro ma non il destro, e, per la continuità, il limite sinistro coincide con il valore della funzione).
in $-1$ la funzione non è ben definita, né è definita nell'intorno sinistro (è un estremo inferiore di $(-1,+oo)$), devi dunque trovare il limite destro.
inoltre, $f((sqrt2-2)/2)$ ci darà indicazioni sul valore estremo del codominio.
ovviamente vanno trovati i limiti per $x->+-oo$.
PS: nel forum si usa darsi del tu...
spero di essere stata chiara. vuoi provare a scrivere il segno della derivata prima e i valori della funzione e/o i limiti nei punti particolari? che cosa ne deduci?
hai presenti i teoremi sulle funzioni continue e i teoremi sulle funzioni derivabili? Bolzano, Weierstrass, e soprattutto Rolle e Lagrange?
i massimi e minimi, se ci sono, sono agli estremi del dominio o in punti critici di non derivabilità della funzione, o, in punti in cui la funzione è derivabile è possibile solo se la derivata è nulla.
insomma, l'andamento della funzione, in particolare lo studio del segno della derivata prima, ti dà indicazioni in generale per quasi tutti i punti, ma a parte devi considerare i punti in cui la funzione non è derivabile e gli estremi del dominio.
mettiamo in ordine i valori trovati da te:
$-oo<-2<-(sqrt2-2)/2<-1<(sqrt2-2)/2<+oo$.
dunque $-(sqrt2-2)/2$ non va considerato perché né appartiene al domino né ne è un suo estremo.
in $-2$ la funzione è ben definita, dunque si può trovare $f(2)$, anche senza ricorrere al limite (tieni presente che esiste il limite sinistro ma non il destro, e, per la continuità, il limite sinistro coincide con il valore della funzione).
in $-1$ la funzione non è ben definita, né è definita nell'intorno sinistro (è un estremo inferiore di $(-1,+oo)$), devi dunque trovare il limite destro.
inoltre, $f((sqrt2-2)/2)$ ci darà indicazioni sul valore estremo del codominio.
ovviamente vanno trovati i limiti per $x->+-oo$.
PS: nel forum si usa darsi del tu...
spero di essere stata chiara. vuoi provare a scrivere il segno della derivata prima e i valori della funzione e/o i limiti nei punti particolari? che cosa ne deduci?
Ops! Rifacendo la derivata con la calcolatrice mi ha dato altri valori per la derivata prima.
$y'=0 rarr mai$
$y'>0 rarrx >-1$
$y'<0rarr x<-2$
cioè la funzione decresce da meno infinito a -2. Da -2 a -1 la funzione non è definita. La funzione cresce da -1 a più infinito. Visto che -1 non è incluso nel campo di esistenza non è un punto nè di minimo nè di massimo. Ed invece -2 è un punto di minimo?
Quindi facendo i limiti
$ lim_(x -> -infty) f(x)=infty $
$ lim_(x -> -2) f(x)=0 $
$ lim_(x -> -1rarr ) f(x)=-infty $
$ lim_(x -> +infty) f(x)=-log(2) $
Qual'è l'insieme immagine a questo punto? è per caso $]-infty, -log2[U[0,infty[$? Ho fatto bene ad includere lo 0?
$y'=0 rarr mai$
$y'>0 rarrx >-1$
$y'<0rarr x<-2$
cioè la funzione decresce da meno infinito a -2. Da -2 a -1 la funzione non è definita. La funzione cresce da -1 a più infinito. Visto che -1 non è incluso nel campo di esistenza non è un punto nè di minimo nè di massimo. Ed invece -2 è un punto di minimo?
Quindi facendo i limiti
$ lim_(x -> -infty) f(x)=infty $
$ lim_(x -> -2) f(x)=0 $
$ lim_(x -> -1rarr ) f(x)=-infty $
$ lim_(x -> +infty) f(x)=-log(2) $
Qual'è l'insieme immagine a questo punto? è per caso $]-infty, -log2[U[0,infty[$? Ho fatto bene ad includere lo 0?
sì, è tutto OK se è giusto il segno della derivata prima e se sono esatti i limiti.
credo allora di aver capito. grazie tante!
prego!
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