Punto di uno studio qualitativo di f(x)

[paxpax92]

sia f(x) : [0,+infinito]->R tale $sin(x)<=f(x)<=x$ e tale che esista l=lim di f(x) per x->+infinito
sono riuscito a dimostrare quanto vale f(0) e f'(0) a dimostrare per assurdo che il limite infinito non può essere <1 ,che f ha un minimo (qua ditemi perchè non sono sicuro) se va bene dire che considerando il fatto che abbiamo ai 2 estremi 2 valori finiti per Weirstrass la f(x) assumera sia massimo sia il minimo
ma quello che proprio non riesco a dimostrare è la seguente parte "se per ipotesi f assumesse valore negativo allora esiste un punto k tale che $f'(x)<= -2/3pi$"
mi riuscite ad aiutare?
ho pensato di utilizzare Lagrange tuttavia io non so in quale intervallo questo può succedere quindi non riesco,ho pensato anche ad il teorema dei valori intermedi per andare a "beccare" proprio quel valore ma non è la soluzione..qualcuno mi riesce ad "illuminare"?

[albertobosia]

che il limite non possa essere \(<1\) è immediato, appena meno facile è dire che se, esiste il limite a \(+\infty\), è \(\ge1\).
però weierstrass richiede la continuità, che non è certo conseguenza di \(\sin(x)\le f(x)\le x\) (anche se credo che tu ti sia solo dimenticato di scriverlo, visto che poi parli di derivata).

inoltre, ti correggo anche questo: immagino che il tuo problema dicesse \(\displaystyle f'(x)\le-\frac2{3\pi}\), quello che hai scritto tu è falso (fai un disegno e capisci).
un'abbozzo informale di soluzione potrebbe essere questo:

sia \(f(x_0)<0\), per cui si ha che \(\displaystyle x_0\in\left((2k-1)\pi,2k\pi\right)\) per qualche \(k\) naturale.
allora consideriamo il precedente massimo locale del seno, cioè \(\displaystyle\left(2k-\frac32\right)\pi\).

impostiamo quindi \(\begin{cases}f\left(\left(2k-\frac32\right)\pi\right)\ge1\\f(x_0)\le0\\f(x)\ge\sin(x)\end{cases}\).

minimizziamo la derivata media in \(\displaystyle\left(\left(2k-\frac32\right)\pi,x_0\right)\), che si ha quando \(\displaystyle x_0=(2k+1)\pi\).
il segmento che congiunge i punti \(\displaystyle P_1:\left(\left(2k-\frac32\right)\pi,1\right)\) e \(\displaystyle P_2:\left(\left(2k+1\right)\pi,0\right)\) ha coefficiente angolare \(-\displaystyle\frac2{3\pi}\).
questo segmento interseca il seno in un punto \(\displaystyle T:\left(t,f\left(t\right)\right)\), quindi la \(f'\) è maggiore di \(-\displaystyle\frac2{3\pi}\) in \(\displaystyle\left(\left(2k-\frac32\right)\pi,t\right)\), e per avere quello come media deve scendere a meno di \(\displaystyle-\frac2{3\pi}\) da qualche parte in \(\displaystyle\left(t,(2k+1)\pi\right)\), che è la tesi.

[paxpax92]

alberto intanto ti ringrazio..poi ti volevo far notare che $f'(x)$ puo anche essere uguale a $-2/3pi$ e basta quello per arrivare alla tesi,io cmq ho provato a seguire il tuo ragionamento ma facendo la derivata media mi viene $-2/5pi$ mi puoi scrivere i passaggi(anche se sono elementari?) grazie di nuovo

[Camillo]

Un bell'esercizio al difuori dei soliti schemi, notevoli le considerazioni che fa alberto, ma anche a me viene $-2/(5pi)$ come pendenza del segmento $P_1P_2 $.

[Camillo]

@ albertobosia

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[paxpax92]

mentre aspettiamo albertobosia..c'è qualcun'altro che riesce magari a risolvermi questo esercizio perchè in fin dei conti ancora non è stato risolto!