Punto di sella: perché se Hf(x0) è semidefinita lo è solo se per l'autovettore associato a λ=0 c'è un max o min?
Non lo so, ma occhio che le due definizioni NON sono equivalenti. Per la funzione \(f(x, y)=x^3\), l'origine è di sella per la prima definizione ma non lo è per la seconda.
Risposte
I punti di sella ognuno li definisce come più gli fa comodo… Dipende da cosa deve/vuole farci, se metterli addosso ad un cavallo o meno. 
"dissonance":
Non lo so, ma occhio che le due definizioni NON sono equivalenti. Per la funzione \(f(x, y)=x^3\), l'origine è di sella per la prima definizione ma non lo è per la seconda.
Grazie, questo lo so perché ho già scritto le due diverse definizioni con un esempio. La mia domanda è in fondo ed è basata sulla seconda definizione
@ dissonance:
Grazie, questo lo so perché ho già scritto le due diverse definizioni con un esempio. La mia domanda è in fondo ed è basata sulla seconda definizione
@ gugo82:
Grazie ma non è una risposta alla mia domanda.
Considerando valida solo la seconda definizione non capisco questo:
"Pertanto, x0 è punto di sella per f se e solo se è possibile trovare un vettore v2 nel
nucleo della matrice Hf(x0) tale che la funzione t→ f(x0 + tv2) abbia un punto
di massimo stretto in t = 0. In modo analogo si procede se Hf(x0) è semi-definita
negativa." Perché se solamente nella direzione dell'autovettore associato all'autovalore λ=0 la funzione non ha un massimo x0 non è un punto di sella? Secondo quanto detto prima, perché non potrebbe esserci un'altra direzione diversa dall'autovettore associato a λ=0 in cui f ha un massimo (se nella direzione dell'autovettore associato all'autovalore λ=0 la funzione non ha un massimo)?
"dissonance":
Non lo so, ma occhio che le due definizioni NON sono equivalenti. Per la funzione \(f(x, y)=x^3\), l'origine è di sella per la prima definizione ma non lo è per la seconda.
Grazie, questo lo so perché ho già scritto le due diverse definizioni con un esempio. La mia domanda è in fondo ed è basata sulla seconda definizione
@ gugo82:
"gugo82":
I punti di sella ognuno li definisce come più gli fa comodo… Dipende da cosa deve/vuole farci, se metterli addosso ad un cavallo o meno.
Grazie ma non è una risposta alla mia domanda.
Considerando valida solo la seconda definizione non capisco questo:"Pertanto, x0 è punto di sella per f se e solo se è possibile trovare un vettore v2 nel
nucleo della matrice Hf(x0) tale che la funzione t→ f(x0 + tv2) abbia un punto
di massimo stretto in t = 0. In modo analogo si procede se Hf(x0) è semi-definita
negativa." Perché se solamente nella direzione dell'autovettore associato all'autovalore λ=0 la funzione non ha un massimo x0 non è un punto di sella? Secondo quanto detto prima, perché non potrebbe esserci un'altra direzione diversa dall'autovettore associato a λ=0 in cui f ha un massimo (se nella direzione dell'autovettore associato all'autovalore λ=0 la funzione non ha un massimo)?
Non è molto chiaro come hai scritto, ma comunque credo di capire cosa tu intenda. Lungo un autovettore corrispondente a un autovalore con segno, è chiaro cosa succede: se l'autovalore è negativo, hai un massimo, se è positivo hai un minimo. E questo non è altro che un teorema familiare di analisi 1: se la derivata prima di una funzione di una variabile si annulla, e la derivata seconda è positiva, allora il punto è un minimo.
Quindi, l'unico caso in cui non si può dire niente è quello in cui l'autovalore si annulla. Per quello il testo parla proprio di quel caso.
Quindi, l'unico caso in cui non si può dire niente è quello in cui l'autovalore si annulla. Per quello il testo parla proprio di quel caso.
"dissonance":
Non è molto chiaro come hai scritto, ma comunque credo di capire cosa tu intenda. Lungo un autovettore corrispondente a un autovalore con segno, è chiaro cosa succede: se l'autovalore è negativo, hai un massimo, se è positivo hai un minimo. E questo non è altro che un teorema familiare di analisi 1: se la derivata prima di una funzione di una variabile si annulla, e la derivata seconda è positiva, allora il punto è un minimo.
Quindi, l'unico caso in cui non si può dire niente è quello in cui l'autovalore si annulla. Per quello il testo parla proprio di quel caso.
Non è chiaro perché forse è stato cancellato il testo della domanda, non so per quale motivo. Ne riscrivo una parte breve che centra la questione:
"esistono una direzione lungo la quale f ha un punto di massimo in x0 ed una direzione lungo la quale f ha un punto di minimo in x0. Più precisamente, devono esistere due vettori [quindi 2 direzioni fra le infinite possibili] v1 e v2 tali che le funzioni t → f(x0 + tvi), i = 1, 2, abbiano rispettivamente un punto di minimo e un punto di massimo stretti per t = 0."
Per cui una direzione è fornita da qualsiasi autovettore associato all'autovalore λ > 0 , mentre la seconda direzione (lungo la quale f ha un punto di massimo in x0) si può trovare tra tutte le altre infinite direzioni, invece il testo afferma che se lungo la direzione (una sola fra le altre restanti che sono infinite) corrispondente all'autovettore associato all'autovalore λ=0 f non ha un punto di massimo in x0 allora non ci sono altre direzioni lungo le quali f ha un punto di massimo in x0.
E si, ma la risposta è nel mio post precedente. L'unico autovalore che ti può dare problemi è lo zero, ma se tu hai una ipotesi che ti dice: sulla direzione associata a zero non c'è un massimo, allora non c'è altro da dire.
"dissonance":
E si, ma la risposta è nel mio post precedente. L'unico autovalore che ti può dare problemi è lo zero, ma se tu hai una ipotesi che ti dice: sulla direzione associata a zero non c'è un massimo, allora non c'è altro da dire.
Scusa ma non capisco perché la direzione associata all'autovettore corrispondente all'autovalore 0 esclude tutte le rimanenti infinite direzioni, potresti spiegarmelo? Forse centra con il fatto che tutte le direzioni sono combinazioni lineari degli autovalori che sono una base...
Il tuo dubbio non è di analisi ma di algebra lineare. Ricordati che le matrici simmetriche, come la matrice Hessiana, sono diagonalizzabili.
"dissonance":
Il tuo dubbio non è di analisi ma di algebra lineare. Ricordati che le matrici simmetriche, come la matrice Hessiana, sono diagonalizzabili.
Questo lo so, ma non trovo il nesso di questo con il fatto che una singola direzione, seppure sia quella di un autovalore, che non ha tale "proprietà" esclude che tutte le altre abbiano quella "proprietà".
Ho già risposto a questa domanda. Riepilogo. Esiste una base di autovettori. Tutti gli autovettori corrispondenti ad autovalori non nulli sono associati a massimi o a minimi locali. Restano solo le direzioni corrispondenti all'autovalore 0.
"dissonance":
Ho già risposto a questa domanda. Riepilogo. Esiste una base di autovettori. Tutti gli autovettori corrispondenti ad autovalori non nulli sono associati a massimi o a minimi locali. Restano solo le direzioni corrispondenti all'autovalore 0.
Grazie per la risposta ma non riesco veramente a capire. Se suppongo che una matrice simmetrica 3x3 abbia 2 autovalori >0 e 1 =0, ho 3 autovettori che sono una base cioè tutti gli altri vettori dello spazio R^3 sono combinazione lineare di questi 3 autovettori ma questi 3 autovettori rappresentano solo 3 direzioni lungo le quali verifico se hanno massimi o minimi locali. In tutte le altre direzioni anche se sono combinazione lineare di queste 3, in cui ho verificato, l'esistenza di un massimo o minimo la devo considerare caso per caso....
In parole semplici penso che se in una direzione non esiste un massimo/minimo non posso dire che in un'altra non esista il massimo/minimo
Non si capisce granchè la domanda del thread...è come se fosse stato tagliato.
Provo a darti una visione "concreta" di ciò che si fa studiando l'Hessiana.
Innanzittuto riassumo assai brevemente i seguenti fatti. L'Hessiana racchiude informazioni sulla concavità di una superficie. E' simmetrica e pertanto ha sempre autovalori reali ed è sempre diagonalizzabile ed è sempre possibile quindi derivare una base di autovettori ortogonali fra di loro.
Il segno degli autovalori ci dice la concavità della superficie lungo quella direzione.
Ora, supponiamo di avere una $f(x,y)$ e di aver trovato un punto stazionario, ci chiediamo se sia un massimo o un minimo o una sella (in genere definiscono "sella" tutti i punti stazionari che non sono ne minimi ne massimi).
Guardiamo l'intorno di quel punto e, nota bene, nel suo intorno la superficie è da considerarsi piatta. Per comodità visualizziamolo come un cerchio. L'Hessiana è una matrice 2x2 pertanto troveremo due direzioni perpendicolari (autovettori) che possiamo disegnare dentro il cerchio.
Se entrambe le direzioni sono collegate ad autovalori positivi (l'Hessiana quindi è definita positiva), allora lungo di esse la concavità è positiva e lo sarà anche lungo tutte le direzioni che sono combinazioni lineari dei due autovettori. Quindi il nostro punto è un minimo relativo/assoluto.
Stessa cosa se entrambi gli autovalori sono negativi (Hessiana definita negativa) ma il punto sarà un massimo.
Se invece abbiamo un autovalore positivo e uno negativo allora sappiamo per certo che lungo una direzione abbiamo un minimo e lungo la seconda abbiamo un massimo. Le combinazioni lineari sono come una lancetta, facciamola ruotare in senso antiorario. Fino ad un angolo $alpha$ la concavità positiva "vince" contro quella negativa (se la superficie è perfettamente simmetrica, $alpha=pi/4$) e quindi anche lungo tutte le direzioni con angolo compreso fra zero e $alpha$, il nostro punto rappresenta un minimo. Nota bene, la pendenza verso l'alto della superficie tenderà mano a mano ad appiattirsi mano a mano che ci avviciniamo ad $alpha$.
Fra $alpha$ e $pi/2$ il discorso si inverte. La combinazione lineare privilegerà l'effetto della concavità negativa e lungo tutte queste direzioni il nostro punto rappresenta un massimo.
In altre parole: una volta che conosciamo i due autovettori e il segno dei due corrispondenti autovalori abbiamo già un quadro completo di cosa accade e non ci interessa guardare direzione per direzione. A questo punto sappiamo che è una sella.
Se un autovalore è zero invece possiamo andare a vedere cosa accade lungo questa direzione: nella maggior parte dei casi la concavità è zero pertanto la pendenza è costante. Qualche volta invece il nostro punto potrebbe essere un minimo o un massimo. Ma vabbè tanto in generale in questi casi la chiamano sempre "sella" anche se la pendenza è costante.
Ripeto, non mi è chiara la domanda del thread ma questo:
è "sbagliato". La superficie sta in $R^4$ è del tipo $f(x,y,z)=w$. L'intorno puoi immaginarlo come una proiezione lungo la direzione $w$ in uno spazio (x,y,z) il cui riferimento ortogonale è dato dagli autovettori dell'Hessiana.
Provo a darti una visione "concreta" di ciò che si fa studiando l'Hessiana.
Innanzittuto riassumo assai brevemente i seguenti fatti. L'Hessiana racchiude informazioni sulla concavità di una superficie. E' simmetrica e pertanto ha sempre autovalori reali ed è sempre diagonalizzabile ed è sempre possibile quindi derivare una base di autovettori ortogonali fra di loro.
Il segno degli autovalori ci dice la concavità della superficie lungo quella direzione.
Ora, supponiamo di avere una $f(x,y)$ e di aver trovato un punto stazionario, ci chiediamo se sia un massimo o un minimo o una sella (in genere definiscono "sella" tutti i punti stazionari che non sono ne minimi ne massimi).
Guardiamo l'intorno di quel punto e, nota bene, nel suo intorno la superficie è da considerarsi piatta. Per comodità visualizziamolo come un cerchio. L'Hessiana è una matrice 2x2 pertanto troveremo due direzioni perpendicolari (autovettori) che possiamo disegnare dentro il cerchio.
Se entrambe le direzioni sono collegate ad autovalori positivi (l'Hessiana quindi è definita positiva), allora lungo di esse la concavità è positiva e lo sarà anche lungo tutte le direzioni che sono combinazioni lineari dei due autovettori. Quindi il nostro punto è un minimo relativo/assoluto.
Stessa cosa se entrambi gli autovalori sono negativi (Hessiana definita negativa) ma il punto sarà un massimo.
Se invece abbiamo un autovalore positivo e uno negativo allora sappiamo per certo che lungo una direzione abbiamo un minimo e lungo la seconda abbiamo un massimo. Le combinazioni lineari sono come una lancetta, facciamola ruotare in senso antiorario. Fino ad un angolo $alpha$ la concavità positiva "vince" contro quella negativa (se la superficie è perfettamente simmetrica, $alpha=pi/4$) e quindi anche lungo tutte le direzioni con angolo compreso fra zero e $alpha$, il nostro punto rappresenta un minimo. Nota bene, la pendenza verso l'alto della superficie tenderà mano a mano ad appiattirsi mano a mano che ci avviciniamo ad $alpha$.
Fra $alpha$ e $pi/2$ il discorso si inverte. La combinazione lineare privilegerà l'effetto della concavità negativa e lungo tutte queste direzioni il nostro punto rappresenta un massimo.
In altre parole: una volta che conosciamo i due autovettori e il segno dei due corrispondenti autovalori abbiamo già un quadro completo di cosa accade e non ci interessa guardare direzione per direzione. A questo punto sappiamo che è una sella.
Se un autovalore è zero invece possiamo andare a vedere cosa accade lungo questa direzione: nella maggior parte dei casi la concavità è zero pertanto la pendenza è costante. Qualche volta invece il nostro punto potrebbe essere un minimo o un massimo. Ma vabbè tanto in generale in questi casi la chiamano sempre "sella" anche se la pendenza è costante.
Ripeto, non mi è chiara la domanda del thread ma questo:
"paolo.math":
ho 3 autovettori che sono una base cioè tutti gli altri vettori dello spazio R^3
è "sbagliato". La superficie sta in $R^4$ è del tipo $f(x,y,z)=w$. L'intorno puoi immaginarlo come una proiezione lungo la direzione $w$ in uno spazio (x,y,z) il cui riferimento ortogonale è dato dagli autovettori dell'Hessiana.
"Bokonon":
Non si capisce granchè la domanda del thread...è come se fosse stato tagliato.
Provo a darti una visione "concreta" di ciò che si fa studiando l'Hessiana.
Innanzittuto riassumo assai brevemente i seguenti fatti. L'Hessiana racchiude informazioni sulla concavità di una superficie. E' simmetrica e pertanto ha sempre autovalori reali ed è sempre diagonalizzabile ed è sempre possibile quindi derivare una base di autovettori ortogonali fra di loro.
Il segno degli autovalori ci dice la concavità della superficie lungo quella direzione.
Ora, supponiamo di avere una $f(x,y)$ e di aver trovato un punto stazionario, ci chiediamo se sia un massimo o un minimo o una sella (in genere definiscono "sella" tutti i punti stazionari che non sono ne minimi ne massimi).
Guardiamo l'intorno di quel punto e, nota bene, nel suo intorno la superficie è da considerarsi piatta. Per comodità visualizziamolo come un cerchio. L'Hessiana è una matrice 2x2 pertanto troveremo due direzioni perpendicolari (autovettori) che possiamo disegnare dentro il cerchio.
Se entrambe le direzioni sono collegate ad autovalori positivi (l'Hessiana quindi è definita positiva), allora lungo di esse la concavità è positiva e lo sarà anche lungo tutte le direzioni che sono combinazioni lineari dei due autovettori. Quindi il nostro punto è un minimo relativo/assoluto.
Stessa cosa se entrambi gli autovalori sono negativi (Hessiana definita negativa) ma il punto sarà un massimo.
Se invece abbiamo un autovalore positivo e uno negativo allora sappiamo per certo che lungo una direzione abbiamo un minimo e lungo la seconda abbiamo un massimo. Le combinazioni lineari sono come una lancetta, facciamola ruotare in senso antiorario. Fino ad un angolo $alpha$ la concavità positiva "vince" contro quella negativa (se la superficie è perfettamente simmetrica, $alpha=pi/4$) e quindi anche lungo tutte le direzioni con angolo compreso fra zero e $alpha$, il nostro punto rappresenta un minimo. Nota bene, la pendenza verso l'alto della superficie tenderà mano a mano ad appiattirsi mano a mano che ci avviciniamo ad $alpha$.
Fra $alpha$ e $pi/2$ il discorso si inverte. La combinazione lineare privilegerà l'effetto della concavità negativa e lungo tutte queste direzioni il nostro punto rappresenta un massimo.
In altre parole: una volta che conosciamo i due autovettori e il segno dei due corrispondenti autovalori abbiamo già un quadro completo di cosa accade e non ci interessa guardare direzione per direzione. A questo punto sappiamo che è una sella.
Se un autovalore è zero invece possiamo andare a vedere cosa accade lungo questa direzione: nella maggior parte dei casi la concavità è zero pertanto la pendenza è costante. Qualche volta invece il nostro punto potrebbe essere un minimo o un massimo. Ma vabbè tanto in generale in questi casi la chiamano sempre "sella" anche se la pendenza è costante.
Ripeto, non mi è chiara la domanda del thread ma questo:
[quote="paolo.math"]ho 3 autovettori che sono una base cioè tutti gli altri vettori dello spazio R^3
è "sbagliato". La superficie sta in $R^4$ è del tipo $f(x,y,z)=w$. L'intorno puoi immaginarlo come una proiezione lungo la direzione $w$ in uno spazio (x,y,z) il cui riferimento ortogonale è dato dagli autovettori dell'Hessiana.[/quote]
Ora ho capito, non avevo ben chiaro il significato geometrico con le combinazioni lineari. Grazie a tutti per la pazienza e il tempo dedicato
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