Punto di non derivabilità?
Buongiorno, ho un problema con il seguente esercizio: Senza fare calcoli ma utilizzando considerazioni relative agli ordini di infinitesimo ed infinito nei punti critici, tracciare il grafico di $(x)^(2/3)*ln(1-x)$ nell'intorno di zero.
Essendo entrambe $0$ per $x=0$ non so come trovarne il copmportamento, ed ho pensato di di calcolare il limite della derivata prima che mi da il coefficiente della retta tangente in modo da avere un'idea su come si comnporta la funzione in un intorno di zero. Il mio problema è che la $f'(x)= 2ln(1-x)/(3x^(1/3)) - x^(2/3)/(1-x)$ che non è derivabile in $x=1$ (il dominio è $x<1$) e non è derivabile in $x=0$. Allora calcolo il limite destro e sinistro in $x=0$ e scopro che è $0$. Ma se il punto fosse di non derivabilità dovrei trovare due limiti diversi per un punto angoloso, due limiti uguali con +o- infinito per un flesso a tangente verticale o due limiti infinito di segno opposto per una cuspide. Io non sono in nessuno di questi casi perchè il limite di $f'(x)$ per $x $che tende a $0$ è $=0$. Come è possibile? Disegnando al pc il grafico di $f(x)$ vedo che in $x=0$ c'è un flesso. $f'(x)$ l'ho calcolata più volte e non dovrebbe essere sbagliata, non capisco come sia possibile che $x=0$ sia di non derivabilità, perchè sia dal limite che dal grafico di $f(x)$ trovo che lo stesso punto è derivabile.
Grazie a tutti.
Essendo entrambe $0$ per $x=0$ non so come trovarne il copmportamento, ed ho pensato di di calcolare il limite della derivata prima che mi da il coefficiente della retta tangente in modo da avere un'idea su come si comnporta la funzione in un intorno di zero. Il mio problema è che la $f'(x)= 2ln(1-x)/(3x^(1/3)) - x^(2/3)/(1-x)$ che non è derivabile in $x=1$ (il dominio è $x<1$) e non è derivabile in $x=0$. Allora calcolo il limite destro e sinistro in $x=0$ e scopro che è $0$. Ma se il punto fosse di non derivabilità dovrei trovare due limiti diversi per un punto angoloso, due limiti uguali con +o- infinito per un flesso a tangente verticale o due limiti infinito di segno opposto per una cuspide. Io non sono in nessuno di questi casi perchè il limite di $f'(x)$ per $x $che tende a $0$ è $=0$. Come è possibile? Disegnando al pc il grafico di $f(x)$ vedo che in $x=0$ c'è un flesso. $f'(x)$ l'ho calcolata più volte e non dovrebbe essere sbagliata, non capisco come sia possibile che $x=0$ sia di non derivabilità, perchè sia dal limite che dal grafico di $f(x)$ trovo che lo stesso punto è derivabile.
Grazie a tutti.
Risposte
Ciao Cremo,
non so se serve, dimmi cosa ne pensi.
La nostra funzione è il prodotto di due funzioni $g(x)=x^(2/3)$ e $h(x)=ln(1-x)$, queste sono facili da tracciare in maniera qualitativa?
non so se serve, dimmi cosa ne pensi.
La nostra funzione è il prodotto di due funzioni $g(x)=x^(2/3)$ e $h(x)=ln(1-x)$, queste sono facili da tracciare in maniera qualitativa?
"gio73":
Ciao Cremo,
non so se serve, dimmi cosa ne pensi.
La nostra funzione è il prodotto di due funzioni $g(x)=x^(2/3)$ e $h(x)=ln(1-x)$, queste sono facili da tracciare in maniera qualitativa?
Quoto. Più precisamente: qual è l'ordine di infinitesimo di \(g\) in \(0\)? Qual è l'ordine di infinitesimo di \(g\) in \(0\)? E allora qual è l'ordine di infinitesimo del prodotto? Perciò, con quale funzione possiamo approssimare, localmente, questo prodotto?
il dominio della funzione non è $x<1$ ma $0<=x<1$ perchè la funzione $x^{2/3}$ non può essere definita per valori negativi della base.
@laura: Una convenzione molto diffusa vuole che una potenza con esponente razionale e denominatore dispari sia intesa come una radice aritmetica con indice dispari e dunque sia definita anche per valori negativi della base. E' sicuramente questo il caso: se la cosa ti turba, immagina che \(x^{2/3}\) sia uguale per definizione a \(\lvert x \rvert ^{2/3}\), su cui non c'è alcuna ambiguità.
La questione dell'insieme di definizione della funzione potenza è stata affrontata moltissime volte su questo forum.
La questione dell'insieme di definizione della funzione potenza è stata affrontata moltissime volte su questo forum.
@dissonance: grazie per la precisazione.
Per quanto riguara la funzione una buona approssimazione in $x=0$ si dovrebbe avere con la funzione $y=-x^{5/3}$
Per la derivabilità, ho calcolato la derivata in $0$ con la definizione e il limite esiste e vale $0$ sia da destra che da sinistra quindi la funzione è derivabile in $x=0$ con derivata nulla.Il problema nasce quando si introduce la funzione derivata. Questo mi potrebbe far pensare che eventuali punti di non derivabilità vanno cercati tra i punti di discontinuità di tipo non eliminabile(I e II specie) della funzione derivata, nel nostro caso la funzione derivata ha una discontinuità di tipo eliminabile quindi non si dovrebbe avere un punto di non derivabilità... scrivo bene o sto farneticando??
Per quanto riguara la funzione una buona approssimazione in $x=0$ si dovrebbe avere con la funzione $y=-x^{5/3}$
Per la derivabilità, ho calcolato la derivata in $0$ con la definizione e il limite esiste e vale $0$ sia da destra che da sinistra quindi la funzione è derivabile in $x=0$ con derivata nulla.Il problema nasce quando si introduce la funzione derivata. Questo mi potrebbe far pensare che eventuali punti di non derivabilità vanno cercati tra i punti di discontinuità di tipo non eliminabile(I e II specie) della funzione derivata, nel nostro caso la funzione derivata ha una discontinuità di tipo eliminabile quindi non si dovrebbe avere un punto di non derivabilità... scrivo bene o sto farneticando??
"laura123":Ok.
@dissonance: grazie per la precisazione.
Per quanto riguara la funzione una buona approssimazione in $x=0$ si dovrebbe avere con la funzione $y=-x^{5/3}$
Per la derivabilità, ho calcolato la derivata in $0$ con la definizione e il limite esiste e vale $0$ sia da destra che da sinistra quindi la funzione è derivabile in $x=0$ con derivata nulla.Va bene anche questo.
Il problema nasce quando si introduce la funzione derivata. Questo mi potrebbe far pensare che eventuali punti di non derivabilità vanno cercati tra i punti di discontinuità di tipo non eliminabile(I e II specie) della funzione derivata, nel nostro caso la funzione derivata ha una discontinuità di tipo eliminabile quindi non si dovrebbe avere un punto di non derivabilità... scrivo bene o sto farneticando??
Non capisco. Vuoi capire se la derivata è continua in \(0\)? Una funzione derivata può benissimo esistere e non essere continua, non c'è nulla di strano. Per il resto, la tua funzione è derivabile ovunque sia definita. Infatti:
[list=1][*:2y08ol0b]essa è definita per \(x < 1\); [/*:m:2y08ol0b]
[*:2y08ol0b]se \(x\ne 0\), entrambi i suoi fattori sono derivabili in \(x\); [/*:m:2y08ol0b]
[*:2y08ol0b]se \(x=0\), il fattore \(x^{\frac{2}{3}}\) non è derivabile ma hai verificato manualmente che il prodotto è derivabile.[/*:m:2y08ol0b][/list:o:2y08ol0b]
Forse mi sono spiegata un po' male. Per determinare i punti di non derivabilità di una funzione si dovrebbero cercare i punti in cui il limite del rapporto incrementale o non esiste o è infinito in accordo con la definizione di derivata. Per le funzioni fatte da un unico pezzo (quindi non definite a tratti) è più semplice creare la funzione derivata prima e analizzare il suo dominio; la presenza di un punto di non derivabilità può essere segnalata da un "restringimento" del dominio della derivata prima rispetto al dominio della funzione, come avviene ad esempio per la funzione $y=x^{1/3}$. Le funizioni fatte da un unico pezzo dovrebbero essere continue nel loro dominio ecco perchè ho legato con il concetto di continuità della funzione derivata prima.. nella funzione considerata si ha effettivamente un restringimento del dominio della funzione derivata prima infatti salta $0$. In base a questo si potrebbe pensare, come ha fatto Cremo, che la funzione non sia derivabile in $0$, ma questo non è vero perchè la verifica con la definizione dice che la funzione è derivabile in tale punto. Allora ho pensato che il solo confronto del dominio non può bastare e che occorre aggiungere anche l'analisi di un'eventuale discontinuità della funzione derivata, se tale discontinuità è di tipo eliminabile allora la funzione deve essere derivabile in tale punto anche se la funzione derivata prima non è definita.
sisi ho verificato manualmente con la definizione, e il limite esiste e vale 0, questo è dovuto alla presenza del logaritmo.
"laura123":Questo modo di ragionare è tipico di una vecchissima interpretazione del concetto di funzione, risalente al Settecento. Io penso che sia profondamente sbagliato rispetto alla teoria attuale. Non c'è da distinguere tra funzioni "fatte da un unico pezzo" e non: l'espressione analitica di una funzione non è che una maniera di definirla ma non è privilegiata rispetto alle altre.
Forse mi sono spiegata un po' male. Per determinare i punti di non derivabilità di una funzione si dovrebbero cercare i punti in cui il limite del rapporto incrementale o non esiste o è infinito in accordo con la definizione di derivata. Per le funzioni fatte da un unico pezzo (quindi non definite a tratti) è più semplice creare la funzione derivata prima e analizzare il suo dominio;
la presenza di un punto di non derivabilità può essere segnalata da un "restringimento" del dominio della derivata prima rispetto al dominio della funzione, come avviene ad esempio per la funzione $y=x^{1/3}$. Le funizioni fatte da un unico pezzo dovrebbero essere continue nel loro dominio ecco perchè ho legato con il concetto di continuità della funzione derivata prima..Non necessariamente. Ad esempio, una funzione molto importante nell'analisi e nell'ingegneria moderne è la funzione gradino di Heaviside:
\begin{equation}
H(x)=\begin{cases} 1 & x\ge 0 \\ 0 & x <0 \end{cases}.
\end{equation}
E' facile, in questi contesti, imbattersi in scritture come
\begin{equation}
u(x)=H(x)\sin(x),
\end{equation}
che pur essendo formate "da un unico pezzo" sono funzioni non regolari (questa, in particolare, non è derivabile in \(0\)).
nella funzione considerata si ha effettivamente un restringimento del dominio della funzione derivata prima infatti salta $0$. In base a questo si potrebbe pensare, come ha fatto Cremo, che la funzione non sia derivabile in $0$, ma questo non è vero perchè la verifica con la definizione dice che la funzione è derivabile in tale punto.
Questo non è il modo corretto di ragionare. Io condurrei l'analisi secondo queste linee:
[list=1][*:1jyhiecs]Siccome per \(x\ne 0\) le funzioni \(x\mapsto x^{2/3}\) e \(x\mapsto \log(1-x)\) sono derivabili, lo è anche il loro prodotto e risulta
\begin{equation}
\left.\frac{d}{dx}\left[ x^{2/3}\log(1-x)\right]\right|_{x \ne 0}=\frac{2}{3}\frac{\log(1-x)}{x^{1/3}}-\frac{x^{2/3}}{1-x}.
\end{equation}[/*:m:1jyhiecs]
[*:1jyhiecs]Per \(x=0\) non si può procedere come al punto precedente e quindi verifichiamo direttamente la definizione, concludendo che la funzione assegnata è derivabile e che
\begin{equation}
\left.\frac{d}{dx}\left[ x^{2/3}\log(1-x)\right]\right|_{x = 0}=0.
\end{equation}[/*:m:1jyhiecs]
[*:1jyhiecs]In conclusione,
\begin{equation}
\frac{d}{dx}\left[ x^{2/3}\log(1-x)\right]=\begin{cases}\frac{2}{3}\frac{\log(1-x)}{x^{1/3}}-\frac{x^{2/3}}{1-x}& x \ne 0 \\ \\ 0 & x=0\end{cases}.
\end{equation}[/*:m:1jyhiecs][/list:o:1jyhiecs]
E' solo a questo punto che, se vogliamo, possiamo studiare la continuità della derivata prima. In questo caso particolare si osserva che essa è continua, ma poteva benissimo capitare il contrario.
Allora ho pensato che il solo confronto del dominio non può bastare e che occorre aggiungere anche l'analisi di un'eventuale discontinuità della funzione derivata, se tale discontinuità è di tipo eliminabile allora la funzione deve essere derivabile in tale punto anche se la funzione derivata prima non è definita.Qualcosa di vero c'è, ma è ancora detto alla maniera vecchia e porta a grattacapi logici, oltre che a possibili errori. Oggi quanto intuisci qui si enuncia sotto forma di teorema.
Teorema
Sia \(I\) un intervallo e \(x_0 \in I\). Se \(f \colon I \to \mathbb{R}\) è continua in \(x_0\) ed è derivabile in \(I \setminus \{x_0\}\), e se esiste finito il limite
\begin{equation}
\lim_{x \to x_0} f'(x)=l,
\end{equation}
allora \(f\) è derivabile anche in \(x_0\) e si ha \(f'(x_0)=l\).
In particolare, volendo studiare la derivabilità di una funzione in un punto, posto che si sappia già che la funzione è continua nel punto stesso e nota l'espressione della derivata in un suo intorno, si può studiare la continuità della derivata prima. Personalmente sconsiglio di farlo perché di solito non è più semplice dell'analisi del rapporto incrementale e innesca errate convinzioni sul concetto di derivabilità.
Grazie a tutti ho capito che il metodo migliore per condurre lo studio è quello illustrato da Dissonance, ma invece che verificare la definizione per $x=0$ (con il rapporto incrementale) posso verificare che è derivabile usando il limite destro e sinistro di $f'(x)$ in zero? Non ho ben chiaro quanto detto da Dissonance sull'ordine di infinitesimo. Sono entrambe funzioni semplici da disegnare qualitativamente, ma mi potreste spiegare meglio il discorso dell'ordine di infinitesimo?
Se entrambe le funzioni $g(x)$ e $f(x)$ in un punto non sono derivabili allora anche la funzione $f(x)*g(x)$ non è derivabile in quel punto, giusto? Quindi il fatto che la $f'(x)$ abbia un punto di discontinuità è condizione necessaria ma non sufficiente affinche la $f(x)$ non sia derivabile in quel punto(nel caso di $f(x)*g(x)$ di cui una non derivabile) Se avessi il grafico di $f'(x)$ e non conoscessi la $f(x)$ potrei comunque dedurre che siccome $f(x)<0$ non ci sono punti di max e di min e che nel punto di discontinuità di $f'(x)$ la $f(x)$ è derivabile perchè il limite destro e sinistro sono uguali e tendono a $0$. Non derivabile se i due limiti fossero uguali ad infinito con lo stesso segno o segno opposto.
Se entrambe le funzioni $g(x)$ e $f(x)$ in un punto non sono derivabili allora anche la funzione $f(x)*g(x)$ non è derivabile in quel punto, giusto? Quindi il fatto che la $f'(x)$ abbia un punto di discontinuità è condizione necessaria ma non sufficiente affinche la $f(x)$ non sia derivabile in quel punto(nel caso di $f(x)*g(x)$ di cui una non derivabile) Se avessi il grafico di $f'(x)$ e non conoscessi la $f(x)$ potrei comunque dedurre che siccome $f(x)<0$ non ci sono punti di max e di min e che nel punto di discontinuità di $f'(x)$ la $f(x)$ è derivabile perchè il limite destro e sinistro sono uguali e tendono a $0$. Non derivabile se i due limiti fossero uguali ad infinito con lo stesso segno o segno opposto.
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