Punto di minimo in un campo scalare

[arna.luca]

Risolvendo problemi di geometria analitica (roba semplice di terza superiore eh, nulla di speciale che non si possa fare con strumenti come rette e circonferenze al massimo) mi è capitato sottomano un problema particolare, che poteva essere risolto in un modo un po' più interessante e "figo" (a me studente di liceo appare così hahahahaha) del normale. In pratica ad un certo punto del problema arrivo a definire una funzione $f(x;y)$, che dovrebbe essere un campo scalare a due dimensioni. Ora, per proseguire devo trovare il minimo assoluto di questo campo. La mia idea è fare il gradiente del campo (che da dove ho letto e imparato finora rappresenta la derivata estesa in più dimensioni) e eguagliare l'espressione a 0. Premettendo che non so se questo metodo è corretto, mi sono venuti i seguenti dubbi:
-Se faccio il gradiente ottengo un campo vettoriale(il che non credo mia dia troppi problemi), ma la direzione del vettore che associo ad ogni punto cosa rappresenterebbe?
-Cercando su internet ho letto che un altro facendo qualcosa di simile a me parlava di matrice hessiana che non ho la più pallida idea di cosa sia e a cosa serva.

Grazie dell'aiuto!!!!!

[Frink1]

"arna1998":
-Se faccio il gradiente ottengo un campo vettoriale(il che non credo mia dia troppi problemi), ma la direzione del vettore che associo ad ogni punto cosa rappresenterebbe?

Il gradiente calcolato in un punto, se non nullo, rappresenta la direzione di massima crescita della funzione di partenza

"arna1998":
-Cercando su internet ho letto che un altro facendo qualcosa di simile a me parlava di matrice hessiana che non ho la più pallida idea di cosa sia e a cosa serva.

Il gradiente uguagliato a $0$ è condizione necessaria ma non sufficiente perché il punto sia punto estremale.
I punti che si trovano uguagliando il gradiente a $0$ sono detti punti critici. Questi possono essere di tre tipologie:
- punti di massimo
- punti di minimo
- punti di sella
Intuitivamente, un punto di sella non è un estremo, ma è minimo lungo alcune direzioni e massimo lungo altre.

Per determinare la tipologia dei punti trovati si utilizza un risultato che è noto come Test dell'Hessiana.
La matrice hessiana è la matrice i cui elementi sono le derivate seconde della funzione. Si indica con
\[
H_f(x_0,y_0)=J_{\nabla f}(x_0,y_0)
\]

Se la funzione di partenza è $C^2(RR^n)$ l'essiana è simmetrica, il che semplifica abbastanza i calcoli.

Il test dell'Hessiana ci dice che:
- se la matrice è definita positiva nel punto critico, quel punto è punto di minimo;
- se la matrice è definita negativa nel punto critico, quel punto è punto di massimo;
- se la matrice è indefinita nel punto critico, quel punto è di sella.

Il test non dà informazioni nei casi in cui la matrice Hessiana è semidefinita positiva/negativa. In tali casi è necessario restringersi a delle rette e cercare di dimostrare che tale punto è di sella o d'estremo.

Spero di aver risposto alla tua domanda, se qualcosa non è chiaro chiedi e cercherò di rispondere. Inoltre ti consiglio di leggere queste cose da un buon libro di teoria, con tutte le dimostrazioni annesse.