Punto di minima distanza
Siamo in uno spazio normato [tex]X[/tex].
[tex]T[/tex] è un operatore lineare e continuo su [tex]X[/tex] e [tex]N(T)[/tex] è il nucleo di [tex]T[/tex]. Da altri ragionamenti, sappiamo che tale nucleo ha dimensione finita (diamolo per buono ora).
Sia [tex]x \in X[/tex] e indichiamo con [tex]d(x,N(T))[/tex] la distanza di [tex]x[/tex] dal sottospazio [tex]N(T)[/tex].
Sugli appunti del mio professore c'è scritto che, siccome [tex]N(T)[/tex] ha dimensione finita, allora esiste [tex]z \in N(T)[/tex] tale che [tex]||x-z|| = d(x,N(T))[/tex].
Quest'ultima affermazione non mi è chiara. Qual è il nesso tra la dimensione di [tex]N(T)[/tex] e l'esistenza di [tex]z[/tex]?
Notare che [tex]X[/tex] non è uno spazio di Hilbert, altrimenti [tex]z[/tex] sarebbe banalmente la proiezione ortogonale di [tex]x[/tex] sul nucleo, né tantomeno stiamo supponendo [tex]X[/tex] completo.
[tex]T[/tex] è un operatore lineare e continuo su [tex]X[/tex] e [tex]N(T)[/tex] è il nucleo di [tex]T[/tex]. Da altri ragionamenti, sappiamo che tale nucleo ha dimensione finita (diamolo per buono ora).
Sia [tex]x \in X[/tex] e indichiamo con [tex]d(x,N(T))[/tex] la distanza di [tex]x[/tex] dal sottospazio [tex]N(T)[/tex].
Sugli appunti del mio professore c'è scritto che, siccome [tex]N(T)[/tex] ha dimensione finita, allora esiste [tex]z \in N(T)[/tex] tale che [tex]||x-z|| = d(x,N(T))[/tex].
Quest'ultima affermazione non mi è chiara. Qual è il nesso tra la dimensione di [tex]N(T)[/tex] e l'esistenza di [tex]z[/tex]?
Notare che [tex]X[/tex] non è uno spazio di Hilbert, altrimenti [tex]z[/tex] sarebbe banalmente la proiezione ortogonale di [tex]x[/tex] sul nucleo, né tantomeno stiamo supponendo [tex]X[/tex] completo.
Risposte
Direi che puoi lavorare nel sottospazio (ovviamente di dimensione finita) generato da N(T) e da x.
E in dim finita l'è tutta un'altra vita.
PS: Corretto il typo segnalato da Gugo82. Mi spiace, perché era fuorviante davvero! Occuparsi del sottospazio generato da N(T) e da z non sarebbe una grande idea.
E in dim finita l'è tutta un'altra vita.
PS: Corretto il typo segnalato da Gugo82. Mi spiace, perché era fuorviante davvero! Occuparsi del sottospazio generato da N(T) e da z non sarebbe una grande idea.
Proprio non mi viene. Un piccolo indizio? 
FP (typo a parte) voleva suggerire di restringere le tue considerazioni al sottospazio [tex]V:=\text{span} \{ x,\mathcal{N} (T)\}[/tex] che ha:
[tex]m:=\dim V =\begin{cases} \dim \mathcal{N} (T) &\text{, se } x\in \mathcal{N} (T)\\ 1+\dim \mathcal{N} (T) &\text{, se } x\notin \mathcal{N} (T)\end{cases}[/tex]
Infatti, visto che [tex]V[/tex] lo puoi riguardare come [tex]\mathbb{R}^m[/tex], puoi applicare alla soluzione del problema in [tex]V[/tex] tutta la teoria degli spazi finito dimensionali che già conosci.
[tex]m:=\dim V =\begin{cases} \dim \mathcal{N} (T) &\text{, se } x\in \mathcal{N} (T)\\ 1+\dim \mathcal{N} (T) &\text{, se } x\notin \mathcal{N} (T)\end{cases}[/tex]
Infatti, visto che [tex]V[/tex] lo puoi riguardare come [tex]\mathbb{R}^m[/tex], puoi applicare alla soluzione del problema in [tex]V[/tex] tutta la teoria degli spazi finito dimensionali che già conosci.
Ieri, data anche la tarda ora, non ho più avuto modo di ripensare alla questione. Stamattina a lezione mi sono fatto dare un aiuto dal professore e devo dire che la cosa non mi è sembrata poi così immediata. Scrivo la dimostrazione suggeritami dal mio professore, ma sono interessato ad eventuali osservazioni.
La distanza di un punto da un sottospazio è definita come estremo inferiore, dunque dire che esiste un punto di minima distanza equivale a dire che quell'estremo inferiore è in realtà un minimo. Allora se [tex]dim(N(T)) = k < \infty[/tex], fissiamo una base [tex]\nu_1,...,\nu_k[/tex] di [tex]N(T)[/tex] e voglio dimostrare che la funzione [tex]f = ||x_n - (\alpha_1\nu_1+...+\alpha_k\nu_k)||[/tex] nelle [tex]k[/tex] variabili [tex]\alpha_1,...,\alpha_k[/tex] (che possiamo supporre reali) ammette minimo. A questo punto osserviamo che [tex]f[/tex] è continua (la norma è continua) su [tex]\mathbb{R}^k[/tex] e inoltre è coercitiva, dunque per una variante del teorema di Weierstrass esiste il minimo.
La distanza di un punto da un sottospazio è definita come estremo inferiore, dunque dire che esiste un punto di minima distanza equivale a dire che quell'estremo inferiore è in realtà un minimo. Allora se [tex]dim(N(T)) = k < \infty[/tex], fissiamo una base [tex]\nu_1,...,\nu_k[/tex] di [tex]N(T)[/tex] e voglio dimostrare che la funzione [tex]f = ||x_n - (\alpha_1\nu_1+...+\alpha_k\nu_k)||[/tex] nelle [tex]k[/tex] variabili [tex]\alpha_1,...,\alpha_k[/tex] (che possiamo supporre reali) ammette minimo. A questo punto osserviamo che [tex]f[/tex] è continua (la norma è continua) su [tex]\mathbb{R}^k[/tex] e inoltre è coercitiva, dunque per una variante del teorema di Weierstrass esiste il minimo.
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