Punto di max funzione due variabili..

[GiuseppeZeta]

Ho applicato il teorema di Fermat a questa funzione per trovare i punti critici. Il minimo è ok, ma non trovo il max che nelle soluzioni dice di essere (k, 1). e non solo come faccio a stabilire che si tratta di un max LOCALE e DEBOLE visto che non spunta tra i punti critici nel th di fermat??? Come avrei dovuto fare per accorgermi che ci sarebbe dovuto essere anche un max??
Grazie mille in anticipo!
$ f(x,y)=(x^2+2y)/(x^2+y^2+1) $

[ostrogoto1]

[strike]Scusa ma il dominio della funzione come e' scritta sembra tutto $ mathbb(R) $. Per caso non c'e' un errore di battitura con un -1 al denominatore?![/strike]

[Kashaman]

Immagino che per Teorema di Fermat tu intendi dire questo teorema :

Sia $f : \Omega sube RR^n -> RR$ , $\Omega$ aperto. $x_0 \in \Omega$. Supponiamo che $f$ sia derivabile in $x_0$ e che $x_0$ sia un punto di massimo (o minimo) relativo per $f$. Allora $\nabla f(x_0) = 0$


Questo teorema ti dice esplicitamente che se esistono dei punti di massimo o minimo della tua funzione questi vanno ricercati esclusivamente nei punti critici di $f$. Quindi probabilmente o è sbagliata la traccia o hai fatto qualche errore di conto.

[ostrogoto1]

$ (partialf)/(partialx)=(2x(y-1))/(x^2+y^2+1)=0 $ se $ x=0 $ oppure $ y=1 $
$ (partialf)/(partialy)=2(y^2+yx^2-x^2-1)/(x^2+y^2+1) $
quindi $ (0,+-1) $ et $ (k,1) $ (ossia tutti i punti con $ y=1 $ ) sono i punti in cui entrambe le derivate si annullano perche' l'espressione al numeratore della derivata rispetto a y e' sempre nulla per $ y=1 $ !! (id est tutti i punti $ (k,1) $ sono punti in cui si annullano entrambe le derivate!).

[GiuseppeZeta]

Quando risolvo il sistema di due equazioni, non posso eliminare il denominatore perchè comunque sempre positivo? Non riesco a capire perchè si annulli la derivata per y=1.. Potresti rispiegarmelo? Grazie in anticipo!

[ostrogoto1]

Certo che puoi non considerare il denominatore nell'espressione delle derivate in quanto sempre positivo!
$ (partialf)/(partialx)=(2x(y-1))/(x^2+y^2+1)=0 $ per $ y=1 $ (per il secondo fattore al numeratore) ossia per tutti i punti del tipo $ (x,1) $ oppure (nota la disgiunzione) per $ x=0 $ (per il primo fattore al numeratore) ossia nei punti del tipo $ (0,y) $.
Poiche' cerco i punti nei quali si annullano entrambe le derivate sostituisco $ y=1 $ nell'espressione di $ (partialf)/(partialy) $ ottenendo:
$ (partialf)/(partialy)(x,1)=2(1+x^2-x^2-1)/(x^2+2)=0" "AAx\in mathbb(R) $. Quindi in tutti i punti $ (x,1) $ si annullano entrambe le derivate.
Idem poi sostituendo $ x=1 $ nell'espressione di $ (partialf)/(partialy) $ si ottengono i punti $ (1,1) $ (peraltro gia' trovato tra quelli precedenti) e l'altro $ (1,-1) $.

Dopodiche' si deduce immediatamente che i punti $ (x,1) $ sono massimi riscrivendo:
$ (partialf)/(partialy)=(2(y^2-1)+x^2(y-1))/(x^2+y^2+1)=(2(y-1)(y+1+x^2))/(x^2+y^2+1) $
evidentemente $ (partialf)/(partialy)>0 $ per $ y>1 $ et $ (partialf)/(partialy)<0 $ per $ 0 Segue che in in un intorno di un qualsiasi punto $ (x_0,1) $ che non intersechi l'asse x si verifichi $ f(x,y)>=f(x_0,1) $ poiche' per un punto (x,y) dell'intorno $ f(x,y)>=f(x,1) $ per quanto dimostrato sulla derivata et poi $ f(x,1)=f(x_0,1) $ essendo f(x,y) costante su tutta la retta $ y=1 $ e quindi $ f(x,y)>=f(x_0,1) $.

[GiuseppeZeta]

Chiarissimo, grazie molte!