Punto di max curvatura
Ragazzi avendo l'equazione di una curva come faccio a determinare il punto di massima curvatura sia graficamente sia analiticamente? grazie
Risposte
Potresti essere un po' più specifico?
Grazie.
Grazie.
In sostanza ammettendo che conosca l'equazione della curva nell'immagine, come faccio a determinare graficamente e analiticamente il unto di max curvatura (punto M)?
https://app.box.com/s/j79bwmf19mfywyvhz9mfrknp1fq90r60
https://app.box.com/s/j79bwmf19mfywyvhz9mfrknp1fq90r60
Se hai un'equazione cartesiana di tipo grafico, i.e. la curva è espressa come \(y=f(x)\) con \(f\) sufficientemente regolare (serve \(f\in C^2\)), allora la curvatura è data da:
\[
k(x) = \frac{f^{\prime \prime} (x)}{\left(1+\left( f^\prime (x)\right)^2\right)^{3/2}}\; .
\]
Dunque per trovare il massimo della curvatura basta fare uno studio della funzione \(k(x)\).
\[
k(x) = \frac{f^{\prime \prime} (x)}{\left(1+\left( f^\prime (x)\right)^2\right)^{3/2}}\; .
\]
Dunque per trovare il massimo della curvatura basta fare uno studio della funzione \(k(x)\).
Se invece volessi individuare il punto di max curvatura diciamo in maniera non rigorosa (solo graficamente) c'è qualche costruzione grafica?
Dovresti costruire, punto per punto, il cerchio osculatore e trovare quello con raggio minore.
grazie per le risposte. Ho provato a cercare su internet e anche sui miei vecchi libri di disegno la costruzione geometrica del cerchio osculatore ma non ho trovato nulla. Mi sapresti indicare del materiale dove appunto è riportata la costruzione geometrica del cerchio osculatore? grazie
"frecciaverde":
grazie per le risposte. Ho provato a cercare su internet e anche sui miei vecchi libri di disegno la costruzione geometrica del cerchio osculatore ma non ho trovato nulla. Mi sapresti indicare del materiale dove appunto è riportata la costruzione geometrica del cerchio osculatore? grazie
Davvero non ne ho idea.
Supponiamo di avere una curva parametrizzata rispetto ad un parametro arco cioè :
es.
per una circonferenza parametrizzata come:
$ { ( x= Rcos \alpha ),( y= Rsin \alpha ):} $
si ha che
$ s( \alpha) = s(t) = int_(0)^(\alpha) R d \alpha = R \alpha $
da cui
$ \alpha = s/R $
allora posso riparametrizzare la curva come:
$ { ( x= Rcos(s/R ),( y= Rsin(s/R ):} $
definisco un versore
$ T(s) = (s'(\alpha))/(|s'(\alpha)| $
dove $ s'(\alpha) $ è la derivata prima delle componenti della parametrizzazione arco.
Definiamo anche il versonre Normale principale come
$ N(s) = (T'(\alpha))/(|T'(\alpha)|) $
questo versore è ortogonale al versore $ T(\alpha) $
Chiamiamo curvatura la funzione scalare
$ k(\alpha) = |T'(\alpha)| $
La normale principale ha la proprietà di individuare la direzione in cui avviene la variazione principale del versore tangente cioè dice in che direzione sta curvando la curva, e lo scalare $ k(\alpha) $ indica l'intenistà con la quale avviene tale cambio.
il raggio di curvatura si definisce come
$ rho (\alpha) = 1/(k(\alpha)) $
Il cerchio di raggio $ rho (\alpha) $ e centro nel punto $ r(\alpha) + rho (\alpha)*N(\alpha) $ si dice cerchio osculatore della curva.
(ho preso spunto dal Bramanti Pagani Salsa "analisi2" , sto studiando in meccanica razionale questa costruzione)
es.
per una circonferenza parametrizzata come:
$ { ( x= Rcos \alpha ),( y= Rsin \alpha ):} $
si ha che
$ s( \alpha) = s(t) = int_(0)^(\alpha) R d \alpha = R \alpha $
da cui
$ \alpha = s/R $
allora posso riparametrizzare la curva come:
$ { ( x= Rcos(s/R ),( y= Rsin(s/R ):} $
definisco un versore
$ T(s) = (s'(\alpha))/(|s'(\alpha)| $
dove $ s'(\alpha) $ è la derivata prima delle componenti della parametrizzazione arco.
Definiamo anche il versonre Normale principale come
$ N(s) = (T'(\alpha))/(|T'(\alpha)|) $
questo versore è ortogonale al versore $ T(\alpha) $
Chiamiamo curvatura la funzione scalare
$ k(\alpha) = |T'(\alpha)| $
La normale principale ha la proprietà di individuare la direzione in cui avviene la variazione principale del versore tangente cioè dice in che direzione sta curvando la curva, e lo scalare $ k(\alpha) $ indica l'intenistà con la quale avviene tale cambio.
il raggio di curvatura si definisce come
$ rho (\alpha) = 1/(k(\alpha)) $
Il cerchio di raggio $ rho (\alpha) $ e centro nel punto $ r(\alpha) + rho (\alpha)*N(\alpha) $ si dice cerchio osculatore della curva.
(ho preso spunto dal Bramanti Pagani Salsa "analisi2" , sto studiando in meccanica razionale questa costruzione)
@w3ns: Scusa, ma non vedo alcuna costruzione geometrica in queste righe...
La rappresentazione grafica del cerchio osculatore e dei versori definiti sopra, normale principale e vettore tangente.
Certo, lo so che la rappresentazione grafica è quella lì (come pure sapevo come si trova la curvatura di una curva parametrizzata)... Ma il problema non è quello, a quanto ho capito.
Il problema è dare una costruzione geometrica, per quanto approssimata, del cerchio osculatore ad una curva di cui non si conosce alcunché a parte la traccia.
Il problema è dare una costruzione geometrica, per quanto approssimata, del cerchio osculatore ad una curva di cui non si conosce alcunché a parte la traccia.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo