Punto di massimo nel teorema della funzione implicita

[matteomattee]

Buongiorno, non riesco a risolvere il seguente quesito:

Si vuole riscrivere l’equazione $2x^51+sinh(y+x^2+y^2)+ln(e+x^2+y^2) = 1$ in forma equivalente come y = f(x)
in un intorno di (0, 0).
Ho già dimostrato che vale il teorema della Funzione Implicita ma non riesco a dimostrare che x = 0 è punto di massimo locale per f.

Ho provato in molti modi, calcolando la derivata prima per la matrice Hessiana, ponendo x=0 nell'equazione e calcolato la derivata prima, stavo pensando perfino ai limiti ma non penso sia una cosa logica.

Ringrazio in anticipo chi saprà aiutarmi.
Buona giornata.

[otta96]

Che c'entra l'Hessiana? Hai una funzione in una variabile di cui sai calcolati le derivate, come lo trovi un massimo?

[matteomattee]

Ho pensato all'Hessiana perché ho pensato di prendere l'equazione come una funzione f(x,y) ma per il teorema della funzione implicita il gradiente è diverso da zero, quindi non avrò un punto stazionario.

"Hai una funzione in una variabile ..." hai posto già x=0 nell'equazione?
Se avessi una funzione di una sola variabile il massimo lo trovo calcolandomi la derivata prima, e studio la crescenza/decrescenza con il segno.

[dissonance]

C'è un altro criterio, quello della derivata seconda.

[matteomattee]

Ho pensato anche a quello, ma già con la derivata prima mi esce un espressione molto lunga:
$F'(x,f(x))=0$
$102x^50 + cosh(f(x)+x^2 +f(x)^2)(f'(x)+2x+2f(x)f'(x))+(1/(e+x^2 +f(x)^2))(2x+2f(x)f'(x))=0$

Poi ho pensato di porre x=0 nell'equazione e studiarla come fosse una funzione, ma ricavo una funzione nuova che non ha niente a che fare con quella che mi serve. Quella nuova (ponendo x=0) è una parabola con un solo punto di minimo assoluto, quella che cerco io è una circonferenza di raggio 1 e centro appartenente all'asse y.