Punto di massimo locale e matrice hessiana
Se ho una funzione $f:RR^n \times ]0,T[ ->RR$,$(x,t)->f(x,t)$ di classe $C^2$ e se $(\barx,\bart)$ è un punto di massimo locale (non necessariamente stretto) per $f$ allora posso concludere che $D^2f(\barx,\bart)<=0$ (nel senso che la matrice hessiana di $f$ calcolata in $(\barx,\bart)$ è semidefinita negativa), giusto?
Se invece $f$ fosse di classe $C^2$ in $x$ ma solo di classe $C^1$ in $t$ posso comunque concludere che $D_x^2 f (\barx,\bart)<=0$ (nel senso che la matrice hessiana di $f$ rispetto a $x$ calcolata in $(\barx,\bart)$ è semidefinita negativa)?
Se invece $f$ fosse di classe $C^2$ in $x$ ma solo di classe $C^1$ in $t$ posso comunque concludere che $D_x^2 f (\barx,\bart)<=0$ (nel senso che la matrice hessiana di $f$ rispetto a $x$ calcolata in $(\barx,\bart)$ è semidefinita negativa)?
Risposte
Si, nel secondo caso basta anche solo che $\bar{x}$ sia un massimo di $f_{t=\bar{t}}$.
Non ci avevo pensato, grazie!
A questo punto avendo mostrato che $D_x^2 f (\barx,\bart) <=0$ posso affermare che tutti gli autovalori di questa matrice sono non positivi, dunque la traccia di questa matrice è non positiva e quindi $\Delta_x f (\barx,\bart) <=0$, cioè il laplaciano spaziale di $f$ in $(\barx,\bart)$ è non negativo, giusto?
A questo punto avendo mostrato che $D_x^2 f (\barx,\bart) <=0$ posso affermare che tutti gli autovalori di questa matrice sono non positivi, dunque la traccia di questa matrice è non positiva e quindi $\Delta_x f (\barx,\bart) <=0$, cioè il laplaciano spaziale di $f$ in $(\barx,\bart)$ è non negativo, giusto?
Si esatto.
Grazie ancora! 
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