Punto di applicazione di vettori nello spazio
Stavo studiando il capitolo sulle curve del libro Pagani - Salsa e leggendo una cosa mi è tornato in mente un dubbio che avevo e che non avevo risolto, riporto la frase:
Ricordo che la questione si era creata anche durante il corso di geometria e algebra lineare quando si parlò di corrispondenza biunivoca tra spazio dei vettori liberi ed $ RR^3 $, ed in quel caso a me era sembrato di capire che in $ RR^3 $ ogni volta che si considerava un vettore lo si considerasse applicato nell'origine. Ora, capisco che sia più utile rappresentare i vettori applicati non nell'origine ma come in questo caso alla curva, però rigorosamente parlando è giusto vederli sempre applicati nell'origine (in $ RR^3 $) ?
Qualcuno può darmi conferma di ciò che ho detto o spiegarmi un pò meglio la questione?
Grazie.
... Abbiamo già visto che $ r'(t) $ si chiama vettore tangente alla curva nel punto $ r(t) $. Rigorosamente $ r'(t) $ va pensato spiccato dall'origine di $ RR^3 $ ma è intuitivamente più efficace pensarlo spiccato da $ r(t) $.
Ricordo che la questione si era creata anche durante il corso di geometria e algebra lineare quando si parlò di corrispondenza biunivoca tra spazio dei vettori liberi ed $ RR^3 $, ed in quel caso a me era sembrato di capire che in $ RR^3 $ ogni volta che si considerava un vettore lo si considerasse applicato nell'origine. Ora, capisco che sia più utile rappresentare i vettori applicati non nell'origine ma come in questo caso alla curva, però rigorosamente parlando è giusto vederli sempre applicati nell'origine (in $ RR^3 $) ?
Qualcuno può darmi conferma di ciò che ho detto o spiegarmi un pò meglio la questione?
Grazie.
Risposte
A rigore un vettore geometrico è una classe di equivalenza, tutti i vettori ottenuti per traslazione da un vettore applicato nell'origine sono lo "stesso" vettore. Se vuoi identificare $R^3$ come spazio vettoriale col solito modello di spazio ordinario allora si, devi vedere tutti i vettori spiccati dall'origine.
Grazie mille.
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