Punto di accumulazione e successione convergente
Sia $(X,d)$ spazio metrico e siano $p\inX$ e $AsubeX$.
$p$ è di accumulazione per $A$ se e solo se esiste una successione iniettiva di punti di A convergente a p.
Per dimostrare il verso $=>$ posso dire che essendo p di accumulazione, in ogni intorno di p cadono punti di A distinti da p, ma da qui come posso costruire la successione iniettiva?
$p$ è di accumulazione per $A$ se e solo se esiste una successione iniettiva di punti di A convergente a p.
Per dimostrare il verso $=>$ posso dire che essendo p di accumulazione, in ogni intorno di p cadono punti di A distinti da p, ma da qui come posso costruire la successione iniettiva?
Risposte
Siccome $X$ è metrico, la topologia indotta soddisfa sicuramente il primo assioma di numerabilità, sicché puoi prendere una base di intorni ${U_n}_{n \in NN}$ di $p$ numerabile. Di più, li puoi prendere incapsulati, cioè $U_{n+1} \subset U_n$ per ogni $n \in NN$.
A questo punto, dovrebbe essere chiaro come costruire una successione (iniettiva) convergente a $p$.
A questo punto, dovrebbe essere chiaro come costruire una successione (iniettiva) convergente a $p$.
D'accordo quindi prendo un punto per ogni intorno senza mai prendere un punto "già preso precedentemente" e ho costruito la successione, questa converge a p perchè per ogni $epsilon>0$ esiste un intorno di p di diametro minore di $epsilon$ contenente un termine della successione...dovrei esserci 
Se ora volessi mostrare che il diametro di A è uguale a quello della sua chiusura?
Se ora volessi mostrare che il diametro di A è uguale a quello della sua chiusura?
"thedarkhero":
D'accordo quindi prendo un punto per ogni intorno senza mai prendere un punto "già preso precedentemente" e ho costruito la successione, questa converge a p perchè per ogni $epsilon>0$ esiste un intorno di p di diametro minore di $epsilon$ contenente un termine della successione...dovrei esserci
Sì, l'hai detto un po' male, ma dovresti aver capito: mi raccomando, se devi esporre questa cosa a qualcuno, scrivila per bene
"thedarkhero":
Se ora volessi mostrare che il diametro di A è uguale a quello della sua chiusura?
Basta ovviamente mostrare che $"diam" \overline{A} \le "diam"A$ (why?).
Piglia due punti $x,y \in \overline{A} subseteq X$, poiché $X$ è metrico, puoi costruire due successioni iniettive $(x_n)_{n \in \NN}$ e $(y_n)_{n \in NN}$ (in A) convergenti a $x$ e $y$ rispettivamente. Fissato $epsilon>0$, per $n$ abbastanza grande $d(x,y)\le d(x_n, x) + d(y_n, y) + d(x_n,y_n)
Hai finito: $"diam"A= "sup " d(x,y) \ge d(x_n, y_n) \ge...$ da cui, per l'arbitrarietà di $epsilon$, la tesi.
Basta mostrare che il diametro della chiusura è minore o uguale a quello di A perchè il viceversa segue dal fatto che A è contenuto nella sua chiusura, fin qui ci sono.
Nell'ultima riga della dimostrazione però si dovrebbe arrivare ad ottenere $diamA>=...>=diam\barA$ ma non riesco a far saltar fuori quel $diam\barA$.
Altra cosa, non c'è una dimostrazione alternativa che non richieda la costruzione di queste successioni ecc? Avevo provato a pensare di scrivere la chiusura come l'intersezione dei chiusi contenenti A ma poi non sapevo bene come procedere...
Nell'ultima riga della dimostrazione però si dovrebbe arrivare ad ottenere $diamA>=...>=diam\barA$ ma non riesco a far saltar fuori quel $diam\barA$.
Altra cosa, non c'è una dimostrazione alternativa che non richieda la costruzione di queste successioni ecc? Avevo provato a pensare di scrivere la chiusura come l'intersezione dei chiusi contenenti A ma poi non sapevo bene come procedere...
"thedarkhero":
Basta mostrare che il diametro della chiusura è minore o uguale a quello di A perchè il viceversa segue dal fatto che A è contenuto nella sua chiusura, fin qui ci sono.
Ok.
"thedarkhero":
Nell'ultima riga della dimostrazione però si dovrebbe arrivare ad ottenere $diamA>=...>=diam\barA$ ma non riesco a far saltar fuori quel $diam\barA$.
Dai, che non è difficile... $"diam" A = "sup"_{x,y \in A} d(x,y) \ge d(x_n, y_n) \ge d(x,y)-epsilon$
Per l'arbitrarietà di $x,y$, $"diam" A \ge "diam" overlineA-epsilon$ da cui per l'arbitrarietà di $epsilon$ la tesi.
"thedarkhero":
Altra cosa, non c'è una dimostrazione alternativa che non richieda la costruzione di queste successioni ecc? Avevo provato a pensare di scrivere la chiusura come l'intersezione dei chiusi contenenti A ma poi non sapevo bene come procedere...
Dubito che una dimostrazione del genere esista, a me francamente non viene in mente nulla. D'altra parte, quando hai a che fare con la chiusura di uno spazio primo numerabile ti riconduci sempre a studiare successioni, visto che hai dimostrato proprio sopra che esistono successioni "belle" (tra l'altro convergenti).
"Paolo90":
Hai finito: $"diam"A= "sup " d(x,y) \ge d(x_n, y_n) \ge...$ da cui, per l'arbitrarietà di $epsilon$, la tesi.
Quello che non mi torna è perchè $"sup " d(x,y) \ge d(x_n, y_n)$
"thedarkhero":
Quello che non mi torna è perchè $"sup " d(x,y) \ge d(x_n, y_n)$
$(x_n)_{n \in \NN}$ e $(y_n)_{n \in NN}$ sono successioni di elementi di $A$ quindi, visto che il sup è un maggiorante...
Giusto dai! Grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo