Punto di accumulazione
Quale delle seguenti definizioni di punto di accumulazione è quella corretta?
Definizione 1. Sia $x_0\in\mathbb{R}$ e $A\subseteq\mathbb{R}$. Se $(\forall r((r\in(0,+\infty))\rightarrow(A\cap(x_0-r,x_0+r)\setminus{x_0}\ne\emptyset)))$ allora $x_0$ è un punto di accumulazione di $A$.
Definizione 2. Sia $x_0\in\mathbb{R}$ e $A\subseteq\mathbb{R}$. Se $(\forall r((r\in(0,+\infty))\rightarrow(A\cap(x_0-r,x_0)\cap(x_0,x_0+r)\ne\emptyset)))$ allora $x_0$ è un punto di accumulazione di $A$.
Accettando la prima definizione si potrebbe ad esempio dire che $\lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{x}=0$, ma se si accetta la seconda definizione ciò non è corretto in quanto $0$ non è un punto di accumulazione di $[0,+\infty)$
In altre parole accettando la prima definizione potrei dire che se $x_0$ è un punto di accumulazione allora $x_0$ è un punto di accumulazione sinistro oppure $x_0$ è un punto di accumulazione destro o entrambe le cose; accettando la seconda definizione potrei invece dire che se $x_0$ è un punto di accumulazione allora $x_0$ è sia un punto di accumulazione sinistro sia un punto di accumulazione destro.
Dove sta la verità?
Grazie.
Definizione 1. Sia $x_0\in\mathbb{R}$ e $A\subseteq\mathbb{R}$. Se $(\forall r((r\in(0,+\infty))\rightarrow(A\cap(x_0-r,x_0+r)\setminus{x_0}\ne\emptyset)))$ allora $x_0$ è un punto di accumulazione di $A$.
Definizione 2. Sia $x_0\in\mathbb{R}$ e $A\subseteq\mathbb{R}$. Se $(\forall r((r\in(0,+\infty))\rightarrow(A\cap(x_0-r,x_0)\cap(x_0,x_0+r)\ne\emptyset)))$ allora $x_0$ è un punto di accumulazione di $A$.
Accettando la prima definizione si potrebbe ad esempio dire che $\lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{x}=0$, ma se si accetta la seconda definizione ciò non è corretto in quanto $0$ non è un punto di accumulazione di $[0,+\infty)$
In altre parole accettando la prima definizione potrei dire che se $x_0$ è un punto di accumulazione allora $x_0$ è un punto di accumulazione sinistro oppure $x_0$ è un punto di accumulazione destro o entrambe le cose; accettando la seconda definizione potrei invece dire che se $x_0$ è un punto di accumulazione allora $x_0$ è sia un punto di accumulazione sinistro sia un punto di accumulazione destro.
Dove sta la verità?
Grazie.
Risposte
Qui:
credo tu abbia sbagliato simbolo; forse volevi scrivere $A\cap (x_0-r,x_0) cup (x_0,x_0+r)$... Altrimenti l'insieme $A\cap (x_0-r,x_0) cap (x_0,x_0+r)$ è evidentemente vuoto*.
Non capisco dove vedi la differenza, giacché per ogni $r>0$ ed $x_0\in RR$ si ha $]x_0-r,x_0+r[\setminus \{ x_0\}=]x_0-r,x_0[\cup]x_0,x_0+r[$.
E poi, dai, un po' di elasticità nelle notazioni: non potresti scrivere:
$AA r>0, A\cap ]x_0-r,x_0+r[\setminus \{ x_0\} != \emptyset$
(come fanno tutti gli Analisti) al posto questo papiello:
$(\forall r((r\in(0,+\infty))\rightarrow(A\cap(x_0-r,x_0+r)\setminus{x_0}\ne\emptyset)))$
che (seppur formalmente corretto) è buono solo per chi ha studiato unicamente Logica nella sua vita?
__________
* Infatti $(x_0-r,x_0)$ e $(x_0,x_0+r)$ sono disgiunti.
"booleandomain":
Definizione 2. Sia $x_0\in\mathbb{R}$ e $A\subseteq\mathbb{R}$. Se $(\forall r((r\in(0,+\infty))\rightarrow($$A\cap(x_0-r,x_0)\cap(x_0,x_0+r)\ne\emptyset$$)))$ allora $x_0$ è un punto di accumulazione di $A$.
credo tu abbia sbagliato simbolo; forse volevi scrivere $A\cap (x_0-r,x_0) cup (x_0,x_0+r)$... Altrimenti l'insieme $A\cap (x_0-r,x_0) cap (x_0,x_0+r)$ è evidentemente vuoto*.
Non capisco dove vedi la differenza, giacché per ogni $r>0$ ed $x_0\in RR$ si ha $]x_0-r,x_0+r[\setminus \{ x_0\}=]x_0-r,x_0[\cup]x_0,x_0+r[$.
E poi, dai, un po' di elasticità nelle notazioni: non potresti scrivere:
$AA r>0, A\cap ]x_0-r,x_0+r[\setminus \{ x_0\} != \emptyset$
(come fanno tutti gli Analisti) al posto questo papiello:
$(\forall r((r\in(0,+\infty))\rightarrow(A\cap(x_0-r,x_0+r)\setminus{x_0}\ne\emptyset)))$
che (seppur formalmente corretto) è buono solo per chi ha studiato unicamente Logica nella sua vita?
__________
* Infatti $(x_0-r,x_0)$ e $(x_0,x_0+r)$ sono disgiunti.
Scusa per il papiello 
e scusa per il simbolo sbagliato.
Nella definizione 2 volevo semplicemente dire che un punto è di accumulazione se e soltanto se è sia di accumulazione sinistro sia di accumulazione destro, cioè se $\forall r>0:A\cap(x_0-r,x_0)\ne\emptyset$ e $\forall r>0:A\cap(x_0,x_0+r)\ne\emptyset$.
e scusa per il simbolo sbagliato.Nella definizione 2 volevo semplicemente dire che un punto è di accumulazione se e soltanto se è sia di accumulazione sinistro sia di accumulazione destro, cioè se $\forall r>0:A\cap(x_0-r,x_0)\ne\emptyset$ e $\forall r>0:A\cap(x_0,x_0+r)\ne\emptyset$.
Ah ecco! 
Ad ogni modo, la definizione buona è la 1.
Chiedere che un punto sia d'accumulazione se e solo se tale è a destra e sinistra è un po' troppo (anche perchè i concetti di "destra" e "sinistra" sono concetti legati alla relazione d'ordine e non certo legati alla topologia).
Ad ogni modo, la definizione buona è la 1.
Chiedere che un punto sia d'accumulazione se e solo se tale è a destra e sinistra è un po' troppo (anche perchè i concetti di "destra" e "sinistra" sono concetti legati alla relazione d'ordine e non certo legati alla topologia).
Grazie Gugo82, ora posso proseguire con lo studio dei limiti.
Prego.
Permettimi un suggerimento: riorganizza le notazioni di quegli appuntini che hai messo in rete (ci ho dato uno sguardo ieri sera, mi pare). Sembrano adatti più ad esser letti da un computer (con un simulatore di logica) che da un essere umano.
Questo vale pure per te; non so quanto un professore di Analisi potrà apprezzare una notazione come la tua in sede di esame.
Il linguaggio matematico deve essere formalmente corretto, però innanzitutto deve esser comprensibile; converrai con me che quanto scritto nei tuoi appunti non è facilmente leggibile.
Permettimi un suggerimento: riorganizza le notazioni di quegli appuntini che hai messo in rete (ci ho dato uno sguardo ieri sera, mi pare). Sembrano adatti più ad esser letti da un computer (con un simulatore di logica) che da un essere umano.
Questo vale pure per te; non so quanto un professore di Analisi potrà apprezzare una notazione come la tua in sede di esame.
Il linguaggio matematico deve essere formalmente corretto, però innanzitutto deve esser comprensibile; converrai con me che quanto scritto nei tuoi appunti non è facilmente leggibile.
Mi fa piacere che tu abbia guardato i miei appunti. Anch'io penso che debba rivedere un po' l'eccessivo formalismo con cui ho scritto le formule nei miei appunti. Ci lavorerò su al più presto.
Non riesco a leggere nè gli uni nè gli altri , come si può fare ?( non riconosce l'estensione. bz )
[OT]
Il mio WinRAR li apre benissimo quei files...
Sarà che è un programma rude e apre pure i pacchi chiusi con lo spago...
[/OT]
"Camillo":
Non riesco a leggere né gli uni né gli altri, come si può fare? (non riconosce l'estensione .bz)
Il mio WinRAR li apre benissimo quei files...
Sarà che è un programma rude e apre pure i pacchi chiusi con lo spago...
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Se disponi di un sistema GNU/Linux puoi utilizzare il comando:
Se disponi di un sistema Microsoft Windows ti consiglio di utilizzare il seguente programma: http://www.7-zip.org/.
Per altri sistemi purtroppo non saprei cosa consigliarti...
tar -xf nomedelfile.tar.bz2
Se disponi di un sistema Microsoft Windows ti consiglio di utilizzare il seguente programma: http://www.7-zip.org/.
Per altri sistemi purtroppo non saprei cosa consigliarti...
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