Punto critico non degenere -> è isolato
Riporto il testo dell'esercizio:
Sia $f ∈ C^2 (R^n, R)$ Ricordiamo che un punto critico $c$ di $f$ (ossia un punto $c$ tale che
$∇f(c) = 0$) si dice non degenere se la matrice Hessiana $Hf(c)$ e invertibile.
Dimostrare che i punti critici non degeneri sono isolati.
Con analisi 2 mi trovo un po' spaesato. Alcune mie deduzioni:
Sia $x_0$ punto critico per $f$.
Per assurdo suppongo che $x_0$ non sia isolato -> prendo un intorno di $x_0$.
Se non è degenere, $Hf(x_0)$ è invertibile -> cioè $J_(\nabla F)(x_0)$ è invertibile -> ha determinante diverso da 0 e mi risulta, per il teorema di inversione locale, che la funzione $\nabla f$ è invertibile in un intorno di $x_0$.
Fin qui è giusto? Serve a qualcosa? Come concludo?
Sia $f ∈ C^2 (R^n, R)$ Ricordiamo che un punto critico $c$ di $f$ (ossia un punto $c$ tale che
$∇f(c) = 0$) si dice non degenere se la matrice Hessiana $Hf(c)$ e invertibile.
Dimostrare che i punti critici non degeneri sono isolati.
Con analisi 2 mi trovo un po' spaesato. Alcune mie deduzioni:
Sia $x_0$ punto critico per $f$.
Per assurdo suppongo che $x_0$ non sia isolato -> prendo un intorno di $x_0$.
Se non è degenere, $Hf(x_0)$ è invertibile -> cioè $J_(\nabla F)(x_0)$ è invertibile -> ha determinante diverso da 0 e mi risulta, per il teorema di inversione locale, che la funzione $\nabla f$ è invertibile in un intorno di $x_0$.
Fin qui è giusto? Serve a qualcosa? Come concludo?
Risposte
Beh su che hai finito. Immaginatelo in dimensione 1. Se una funzione è ingettiva e ha già assunto il valore \(0\), lo può assumere di nuovo?
Ok, sono immensamente stupido: avevo frainteso la definizione di isolato! l'avevo intesa come: il punto $x_0$ è isolato se esiste un suo intorno che non contiene altri elementi del dominio. non so se mi spiego. invece dalla tua risposta evinco che la definizione corretta sarebbe: il punto critico $x_0$ si dice isolato se esiste un intorno di $x_0$ che non contiene altri punti critici. così ha molto più senso e l'esercizio si conclude in maniera ovvia. ma si può perdere un'ora per una cosa del genere?
comunque grazie dissonance e perdona la mia testa fra le nuvole
comunque grazie dissonance e perdona la mia testa fra le nuvole
se i punti critici non sono isolati allora significa che esiste una successione di punti critici che converge al punto critico non isolato.
essendo la funzione in questione C^2 allora l'hessiana è continua, quindi esiste un intorno in cui la segnatura della matrice è costante.
quindi esiste una successione di punti singolari, che accumulano, sui quali la matrice Hessiana ha segnatura costante.
da qui si dovrebbe ricavare che la funzione è costante in un intorno e quindi l'assurdo, in quanto l'Hessiana è nulla nei punti in cui la funzione è costante, in particolare in quei punti che avevamo supposto non singolari.
non so come dimostrare la mia ultima affermazione in dimensione alta, ma in dimensione 1 si fa di forza bruta.
abbiamo una successione di massimi o minimi che accumula, è ovvio allora che il punto in cui accumula deve avere un intorno in cui è costante, ma allora in quell'intorno la derivata seconda non può essere diversa da 0
essendo la funzione in questione C^2 allora l'hessiana è continua, quindi esiste un intorno in cui la segnatura della matrice è costante.
quindi esiste una successione di punti singolari, che accumulano, sui quali la matrice Hessiana ha segnatura costante.
da qui si dovrebbe ricavare che la funzione è costante in un intorno e quindi l'assurdo, in quanto l'Hessiana è nulla nei punti in cui la funzione è costante, in particolare in quei punti che avevamo supposto non singolari.
non so come dimostrare la mia ultima affermazione in dimensione alta, ma in dimensione 1 si fa di forza bruta.
abbiamo una successione di massimi o minimi che accumula, è ovvio allora che il punto in cui accumula deve avere un intorno in cui è costante, ma allora in quell'intorno la derivata seconda non può essere diversa da 0
"ruggerof":
se i punti critici non sono isolati allora significa che esiste una successione di punti critici che converge al punto critico non isolato.
essendo la funzione in questione C^2 allora l'hessiana è continua, quindi esiste un intorno in cui la segnatura della matrice è costante.
quindi esiste una successione di punti singolari, che accumulano, sui quali la matrice Hessiana ha segnatura costante.
da qui si dovrebbe ricavare che la funzione è costante in un intorno e quindi l'assurdo, in quanto l'Hessiana è nulla nei punti in cui la funzione è costante, in particolare in quei punti che avevamo supposto non singolari.
non so come dimostrare la mia ultima affermazione in dimensione alta, ma in dimensione 1 si fa di forza bruta.
abbiamo una successione di massimi o minimi che accumula, è ovvio allora che il punto in cui accumula deve avere un intorno in cui è costante, ma allora in quell'intorno la derivata seconda non può essere diversa da 0
Benvenuto sul forum
Quello che dici è talmente ovvio che ti fornisco un controesempio (in dimensione 1, ovviamente) alla tua affermazione:
$ x ^{42} \sin(1/x)$,
con l'ovvio prolungamento a $0$ in $0$.
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