Punto angoloso

[cowgirl_from_hell]

salve! ho studiato la funzione $f(x) = arcos(1/(1+x^2))$

studiando la derivata prima $2/((x^2+1)sqrt(x^2+2))$ ho notato che essa è sempre definita, dunque "in teoria" non dovrebbero esserci punti angolosi/cuspidi.. tracciando il grafico, però, ho trovato in $(0;0)$ un punto angoloso (la funzione è simmetrica rispetto all'asse y).

qualcuno potrebbe illuminarmi? non capisco quale sia il procedimento di ricerca dei punti di non derivabilità :/

[Rigel1]

Direi che hai semplicemente sbagliato il calcolo della derivata.

[cowgirl_from_hell]

non capisco cosa ho sbagliato.. l'ho rifatta ed ho ottenuto lo stesso risultato

in ogni caso come si procede per capire se ci sono cuspidi/punti angolosi? (intanto la rifaccio ahah)

EDIT: ho verificato qui http://www.numberempire.com/derivatives.php e mi trovo! com'é possibile? uhm

[Zilpha]

puoi postare icalcoli della derivata? ci aiuterebbe a capire il tuo errore...

[cowgirl_from_hell]

"Zilpha":puoi postare icalcoli della derivata? ci aiuterebbe a capire il tuo errore...

certo grazie

allora..

$f'(x) = -1/(sqrt(1-(1/(1+x^2))^2))*((-2x)/(1+x^2)^2) = (2x)/((1+x^2)^2*sqrt(((x^2+1)^2-1)/(x^2+1)^2)) = (2x)/((1+x^2)sqrt(x^4+2x^2)) = (2x)/((1+x^2)sqrt(x^2(x^2+2))) = (2x)/(x((1+x^2)sqrt(x^2+2))) = 2/((1+x^2)sqrt(x^2+2))

[salvozungri]

$\sqrt{x^2}= x$ vale solo per $x>=0$, per $x<0$ non vale più pertanto non sussiste l'uguaglianza $\sqrt{x^2}=x$.

In realtà vale $\sqrt{x^2}=|x|$. Hai quindi effettuato una semplificazione illecita nel penultimo passaggio


[size=75][edit]: la precedente risposta era soggetta a interpretazioni errate, chiedo scusa[/size]

[cowgirl_from_hell]

"Mathematico":$\sqrt{x^2}= x$ vale solo per $x>=0$, per $x<0$ non vale più pertanto non sussiste l'uguaglianza $\sqrt{x^2}=x$.

In realtà vale $\sqrt{x^2}=|x|$. Hai quindi effettuato una semplificazione illecita nel penultimo passaggio


[size=75][edit]: la precedente risposta era soggetta a interpretazioni errate, chiedo scusa[/size]

grazie dunque la derivata sarà $(2x)/(|x|((1+x^2)sqrt(x^2+2)))$, che risulterà essere $>=0$ solo per $x>=0$ (i conti tornano eheh).. ok fin qui ci sono! ora: per capire se nel punto di non derivabilità ho una cuspide o un p. angoloso quali sono i passaggi? vi chiedo di essere molto precisi (ci tengo a capire bene ) grazie mille, davvero!!

[salvozungri]

Devi considerare il limite del rapporto incrementale sinistro e destro, nel punto in cui la derivata prima non è definita (in questo caso $x=0$) e poi a seconda dei risultati capire se è un punto angoloso o una cuspide.

Nel nostro caso la funzione $f$ è continua in 0, i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale non coincidono ma sono finiti pertanto abbiamo un punto angoloso, a te l'onere dei calcoli

[cowgirl_from_hell]

"Mathematico":Devi considerare il limite del rapporto incrementale sinistro e destro, nel punto in cui la derivata prima non è definita (in questo caso $x=0$) e poi a seconda dei risultati capire se è un punto angoloso o una cuspide.

Nel nostro caso la funzione $f$ è continua in 0, i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale non coincidono ma sono finiti pertanto abbiamo un punto angoloso, a te l'onere dei calcoli

quindi in pratica devo calcolare il limite destro e sinistro della derivata prima xD

[salvozungri]

Sì, facile no?
Scusa il ritardo, ma lo stomaco cominciava a lamentarsi del fatto che era vuoto, e se non lo avessi riempito subito, avrebbe detto al cervello di non parlarmi più .

[cowgirl_from_hell]

"Mathematico":Sì, facile no?
Scusa il ritardo, ma lo stomaco cominciava a lamentarsi del fatto che era vuoto, e se non lo avessi riempito subito, avrebbe detto al cervello di non parlarmi più .

grazie dunque se io calcolo il limite della derivata avendo quel $|x|$ al denominatore, posso considerare quest'ultimo come $x$ per $x-> 0^+$ e come $-x$ per $x-> 0^-$ ?

[salvozungri]

Sì, vai tranquilla