Punti stazionari in 2 variabili

[niccolobaccini]

buonasera ho un problema conn questo esercizio
la funzione $ xy-ln(x+y) $ ha un punto di sella per $ x=1/sqrt(2) $ e $ y=1/sqrt(2) $ ma facendo l'hessiano mi risulta un punto di minimo ..... dove sto sbagliando?
$ f'(x)=y-1/(x+y) $
$ f'(y)=x-1/(x+y) $

$ h[ ( 1/(x+y)^2 , 1/(x+y)^2+1 ),( 1/(x+y)^2 +1, 1/(x+y)^2 ) ] $
$ h[ ( 1/2 , 3/2 ),( 3/2 , 1/2 ) ] $

[pilloeffe]

Ciao niccolo123,

La funzione $z = f(x,y) = xy-ln(x+y) $ ha dominio $D = {(x,y) \in \RR^2 : y > - x } $

Per determinare i punti stazionari occorre risolvere il sistema seguente:

${(f'_x = 0), (f'_y = 0):} $

${(y-1/(x+y) = 0), (x-1/(x+y) = 0):} $

${(y(x + y)-1 = 0), (x(x + y)-1 = 0):} $

che porge l'unica soluzione accettabile $ S(1/sqrt2, 1/sqrt2) $

La matrice hessiana mi risulta essere la seguente:

$H[P(x,y)] = [[1/(x +y)^2,1 + 1/(x +y)^2],[1 + 1/(x +y)^2,1/(x +y)^2]] $

$H[S(1/sqrt2,1/sqrt2)] = [[1/2,3/2],[3/2,1/2]] \implies \text{det}H[S(1/sqrt2,1/sqrt2)] = 1/4 - 9/4 = - 2 < 0 $

Dunque in effetti il punto $ S(1/sqrt2, 1/sqrt2) $ è un punto di sella per la funzione $z = f(x,y) = xy-ln(x+y) $

[dissonance]

"niccolo123":dove sto sbagliando?[...]
$ h[ ( 1/2 , 3/2 ),( 3/2 , 1/2 ) ] $

Sei proprio sicuro che questa matrice sia definita positiva? Perché lo dici?