Punti stazionari di una funzione di due variabili
\Sia data la funzione $f(x,y)=\frac{x^2y^3+\sin(x^2y)}{1+x^4+|y|^7}$: dimostrare che ha almeno 5 punti stazionari.
0)la funzione è (almeno) $C^0(\mathbb{R}^2)$
1) vale $f(-x,-y)=-f(x,y)$
2)$\lim_{x^2+y^2\rightarrow +\infty} f(x,y)=0$
3)$f(0,t)=f(t,0)=0$
4)la funzione ammette massimo e minimo su $\mathbb{R}^2$
5)l'origine è un punto stazionario di sella per la funzione
da 4+5 ho che la funzione ha ALMENO 3 punti stazionari, tuttavia non so come dimostrare che ne ammette altri 2, ho provato a calcolare il gradiente ma mi imbatto in una infinità di conti, dunque credo vi sia un metodo più veloce.
Ho pensato che, essendo la funzione dispari, basterebbe dimostrare che essa ammette massimo e minimo su
$ { (x,y)\in\mathbb{R}^2|x>0} $ e per la disparità ammetterebbe massimo e minimo anche sul simmetrico. in questo modo avrei 5 stazionari, è giuso o ho detto una cavolata?
0)la funzione è (almeno) $C^0(\mathbb{R}^2)$
1) vale $f(-x,-y)=-f(x,y)$
2)$\lim_{x^2+y^2\rightarrow +\infty} f(x,y)=0$
3)$f(0,t)=f(t,0)=0$
4)la funzione ammette massimo e minimo su $\mathbb{R}^2$
5)l'origine è un punto stazionario di sella per la funzione
da 4+5 ho che la funzione ha ALMENO 3 punti stazionari, tuttavia non so come dimostrare che ne ammette altri 2, ho provato a calcolare il gradiente ma mi imbatto in una infinità di conti, dunque credo vi sia un metodo più veloce.
Ho pensato che, essendo la funzione dispari, basterebbe dimostrare che essa ammette massimo e minimo su
$ { (x,y)\in\mathbb{R}^2|x>0} $ e per la disparità ammetterebbe massimo e minimo anche sul simmetrico. in questo modo avrei 5 stazionari, è giuso o ho detto una cavolata?
Risposte
Un'idea potrebbe essere la seguente
- $f$ è continua su tutto $RR^2$
- $A={(x,y) inRR^2:x,ygeq0}$ in cui ammette massimo e minimo assoluto.
- si ha $f(x,y)geq0 forall x,y inRR^2$
chiaramente $0$ è il minimo assoluto su $A$. Ora il massimo assoluto sarà diverso da $0$ poichè se lo fosse $f$ sarebbe costante. Inoltre il massimo assoluto sarà interno ad $A$ poichè considerando che il bordo è $partialA={(x,y) inRR^2: x=0 vee y=0}$ e su tale insieme la funzione è costantemente nulla, pertanto se il punto di massimo si trovasse quì dentro, allora il massimo assoluto dovrebbe essere $0$ e quindi costante.
Quindi $f$ ha almeno un punto di massimo assoluto interno ad $A$ per weierstrass e considerazioni varie.
essendo $f(-x,-y)=-f(x,y)$ si conclude che se $(x_0,y_0) inA$ è il punto di massimo allora $f(-x_0,-y_0)=-f(x_0,y_0)$ è punto di minimo assoluto sull'insieme $-A:={(x,y) inRR^2:x,yleq0}$
[size=85]$-f(-x_0,-y_0)=f(x_0,y_0)leqf(x,y)=-f(-x,-y) => f(-x,-y)leqf(-x_0,-y_0),forall(x,y) inA$[/size]
quindi praticamente $(-x_0,-y_0)$ sarebbe punto di minimo assoluto su $-A$
facendo considerazioni analoghe si dovrebbe concludere sugli altri due 'quadranti'
- $f$ è continua su tutto $RR^2$
- $A={(x,y) inRR^2:x,ygeq0}$ in cui ammette massimo e minimo assoluto.
- si ha $f(x,y)geq0 forall x,y inRR^2$
chiaramente $0$ è il minimo assoluto su $A$. Ora il massimo assoluto sarà diverso da $0$ poichè se lo fosse $f$ sarebbe costante. Inoltre il massimo assoluto sarà interno ad $A$ poichè considerando che il bordo è $partialA={(x,y) inRR^2: x=0 vee y=0}$ e su tale insieme la funzione è costantemente nulla, pertanto se il punto di massimo si trovasse quì dentro, allora il massimo assoluto dovrebbe essere $0$ e quindi costante.
Quindi $f$ ha almeno un punto di massimo assoluto interno ad $A$ per weierstrass e considerazioni varie.
essendo $f(-x,-y)=-f(x,y)$ si conclude che se $(x_0,y_0) inA$ è il punto di massimo allora $f(-x_0,-y_0)=-f(x_0,y_0)$ è punto di minimo assoluto sull'insieme $-A:={(x,y) inRR^2:x,yleq0}$
[size=85]$-f(-x_0,-y_0)=f(x_0,y_0)leqf(x,y)=-f(-x,-y) => f(-x,-y)leqf(-x_0,-y_0),forall(x,y) inA$[/size]
quindi praticamente $(-x_0,-y_0)$ sarebbe punto di minimo assoluto su $-A$
facendo considerazioni analoghe si dovrebbe concludere sugli altri due 'quadranti'
Grazie mille anto! Diciamo che ci ero arrivato a metà dai! 
Poi avevo tolto la condizione x=0 perchè come avevo detto avevo già notato che la f per x=0 o y=0 vale sempre 0. Comunque ti ringrazio tantissimo per l'aiuto!
Poi avevo tolto la condizione x=0 perchè come avevo detto avevo già notato che la f per x=0 o y=0 vale sempre 0. Comunque ti ringrazio tantissimo per l'aiuto!
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