Punti stazionari di una funzione a due variabili
Salve a tutti. Ho un problema con il seguente esercizio
Studiare la natura dei punti stazionari della funzione
$f(x,y)=arctan(x^2/y)+x^2y$
nel suo insieme di definizione.
Studiare la natura dei punti stazionari significa che devo controllare eventuali punti di massimo e minimo relativi e/o assoluti della funzione?
Ragionando sul dominio invece l'arcotangente ha valore in tutto $R$ limitata in $[-pi/2,pi/2]$ allora per il dominio impongo il sistema
\begin{cases} -\frac {\pi} {2} \le \frac {x^2} {y} \le \frac {\pi} {2}\\
x^2y \ne 0 \\\end{cases}
E' giusta come impostazione? O non devo considerare la limitazione della funzione arcotangente?
Studiare la natura dei punti stazionari della funzione
$f(x,y)=arctan(x^2/y)+x^2y$
nel suo insieme di definizione.
Studiare la natura dei punti stazionari significa che devo controllare eventuali punti di massimo e minimo relativi e/o assoluti della funzione?
Ragionando sul dominio invece l'arcotangente ha valore in tutto $R$ limitata in $[-pi/2,pi/2]$ allora per il dominio impongo il sistema
\begin{cases} -\frac {\pi} {2} \le \frac {x^2} {y} \le \frac {\pi} {2}\\
x^2y \ne 0 \\\end{cases}
E' giusta come impostazione? O non devo considerare la limitazione della funzione arcotangente?
Risposte
Forse mi sbaglio, ma io escluderei l'asse x ($y!=0$, giusto? si trova al denominatore...) e tutti quei casi in cui l'argomento dell'arcotangente sia uguale a $+-pi/2$ e relativa periodicità (quindi scriverei $x^2/y!=+-kpi/2$ con $kinNN$)
Edit: ho fatto confusione tra tangente e arcotangente...
l'argomento dell'arcotangente può assumere qualsiasi valore, il suo risultato sarà compreso tra $-pi/2$ e $+pi/2$, o no?
Edit: ho fatto confusione tra tangente e arcotangente...
l'argomento dell'arcotangente può assumere qualsiasi valore, il suo risultato sarà compreso tra $-pi/2$ e $+pi/2$, o no?
Se imponiamo , ad esempio , $k=1$ ad esempio otterremo $x^2/y \ne +- pi/2$ ma l'intervallo in cui è definito l'arcotangente è un intervallo chiuso quindi $+-pi/2$ non dovrebbe essere compreso nel dominio? E quindi si potrebbe avere $x^2/y=+- pi/2$. Non so se mi sono spiegato. 
Un altra cosa cosa ho unproblema sulla derivata dell'arcontangente.
La derivata ($f_x)$ dell'arcotangente è $((2x)/y)/(1+x^2/y)=(2x)/(y+x^2)$
Per controllare se ho svolto bene le derivate le faccio online con WolframAlpha e sul sito la derivata è
$(2xy)/(x^4+y^2)$
Dove sbaglio?
Un altra cosa cosa ho unproblema sulla derivata dell'arcontangente.
La derivata ($f_x)$ dell'arcotangente è $((2x)/y)/(1+x^2/y)=(2x)/(y+x^2)$
Per controllare se ho svolto bene le derivate le faccio online con WolframAlpha e sul sito la derivata è
$(2xy)/(x^4+y^2)$
Dove sbaglio?
Allora, la derivata dell'arcotangente è
$D arctg (g(x))=1/(1+[g(x)]^2)*g'(x)$
nel nostro caso $g(x)=x^2/y$ quindi $[g(x)]^2=x^4/y^2$
quindi la derivata parziale di $f(x;y)=arctg(x^2/y)+x^2y$ è
$f_x=1/(1+x^4/y^2)*2x/y +2xy$
sviluppa tu i conti
$D arctg (g(x))=1/(1+[g(x)]^2)*g'(x)$
nel nostro caso $g(x)=x^2/y$ quindi $[g(x)]^2=x^4/y^2$
quindi la derivata parziale di $f(x;y)=arctg(x^2/y)+x^2y$ è
$f_x=1/(1+x^4/y^2)*2x/y +2xy$
sviluppa tu i conti
Quando pongo le derivate parziali prime uguali a zero viene fuori un sistema lungo e laborioso che in seduta d'esame non è che sia un bene! Non è possibile fare una discussione qualitativa dei punti stazionari ?
Allora, potrei sbagliare di grosso: faccio spesso errori di distrazione nei calcoli
$f_x=2xy(1/(y^2+x^4)+1)$
$f_y=x^2(1-1/(y^2+x^4))$
entrambe si annullano quando $x=0$ (escluso l'origine visto che avevamo già detto che $y!=0$), non vedo altre possibilità, tu che mi dici?
$f_x=2xy(1/(y^2+x^4)+1)$
$f_y=x^2(1-1/(y^2+x^4))$
entrambe si annullano quando $x=0$ (escluso l'origine visto che avevamo già detto che $y!=0$), non vedo altre possibilità, tu che mi dici?
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