Punti stazionari... di nuovo
Chiedo scusa se sono monotono, ma mi blocco su ste cose. Qualcuno può aiutarmi, consigliandomi magari anche qualche astuzia per essere un attimino più elastico nel risolvere questi sistemi? La funzione di cui si richiede di trovare i punti critici è la seguente:
$f=x^4+y^4+2xy-y^2-x^2$. Il sistema è:
$\{(4x^3-2x+2y=0), (4y^3-2y+2x=0):}$
In ambedue le equazioni si raccoglie 2 e ok; nella prima posso poi raccogliere $x$ ottenendo $x(x^2-1)+y=0$ ove $(x^2-1)=(x+1)(x-1)$ è prodotto notevole. Stessa cosa nella seconda ma con le incognite invertite. Poi però mi blocco. Ho provato anche a non raccogliere niente e sostituire la $y$ nella seconda ma mi si annulla $x^3$ non riuscendo così a trovare i punti.
$f=x^4+y^4+2xy-y^2-x^2$. Il sistema è:
$\{(4x^3-2x+2y=0), (4y^3-2y+2x=0):}$
In ambedue le equazioni si raccoglie 2 e ok; nella prima posso poi raccogliere $x$ ottenendo $x(x^2-1)+y=0$ ove $(x^2-1)=(x+1)(x-1)$ è prodotto notevole. Stessa cosa nella seconda ma con le incognite invertite. Poi però mi blocco. Ho provato anche a non raccogliere niente e sostituire la $y$ nella seconda ma mi si annulla $x^3$ non riuscendo così a trovare i punti.
Risposte
Somma le due equazioni.
Non so se è un errore di trascrizione qui sul forum o di conto, ma la prima equazione è sbagliata.
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=4x^3+2y$$
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=4x^3+2y$$
"Mephlip":
Non so se è un errore di trascrizione qui sul forum o di conto, ma la prima equazione è sbagliata.
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=4x^3+2y$$
No avevo sbagliato io a scrivere $f$. Ora l'ho corretta. Grazie per l'osservazione.
"dissonance":
Somma le due equazioni.
Grazie, bello. Però non viene giusto: viene $x=0$ e $x=\pmsqrt2$ che secondo wolframalpha non ci sono. Cosa consigli di esercizi per sviluppare occhio in queste cose?
Sommando le due equazioni ottieni $4x^3+4y^3=0$ cioè $x=-y$
"axpgn":
Sommando le due equazioni ottieni $4x^3+4y^3=0$ cioè $x=-y$
Appunto. Sostituendo poi $-x$ a $y$ nella prima equazione ottengo $x^3-2x=0$ che mi dà $x(x^2-2)=0$ che significa $x=0$ e $x=\pmsqrt2$ Il problema è che $x=\pmsqrt2$ non risulta da wolframalpha.
"umbe":
Sostituendo poi $-x$ a $y$ nella prima equazione ottengo $x^3-2x=0$
A me risulta che, se $y=-x$, dalla prima ottieni $4x^3-2x-2x=0 \Leftrightarrow 4x(x^2-1)=0 \Leftrightarrow x=0 vv x=\pm1$.
Ti torna?
Rileggendo il tuo primo post, credo tu abbia perso un $2$ qui
"umbe":
In ambedue le equazioni si raccoglie 2 e ok; nella prima posso poi raccogliere $x$ ottenendo $x(x^2-1)+y=0$
Quando raccogli il $2$ e successivamente la $x$, ci dovrebbe essere un $2$ davanti a $x^3$ che poi ti porterà ad $x=\pm1$: infatti dovresti avere $4x^3-2x+2y=0 \Leftrightarrow 2(2x^3-x+y)=0 \Leftrightarrow 2x^3-x+y=0 \Leftrightarrow x(2x^2-1)+y=0$, poi quando in quest'ultima sostituisci $y=-x$ ottieni $x(2x^2-1)-x=0 \Leftrightarrow x(2x^2-1-1)=0$
Perciò hai $x=0 vv x=\pm1$.
Nella risoluzione dei sistemi è molto comune fare errori di calcolo: una buona riletta senza saltare nessun passaggio solitamente risolve questo inconveniente
E se proprio non credi a noi, sostituisci e verifica …
"axpgn":
E se proprio non credi a noi, sostituisci e verifica …
Sono d'accordo, ed è lo stesso discorso degli altri topic.
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