Punti stazionari di f(x,y) su E
ho la funzione $f(x,y)=xlog(x+y)-e^(-y/x)$ ed $E={0
guardo sul bordo per vedere se esistono l'estremo superiore e inferiore della funzione.
1) per $g(y)=f(1,y)$ con $y in [0,1]$ ho trovato il Sup in $(1,1)$ e l'Inf in $(1,0)$
2)per $h(x)=f(x,0)$ con $x in [0,1]$ ho trovato un Inf in $(1/e,0)$
3) per $l(x)=f(x,1)$ mi viene un calcolo della derivata complicato
4)non so come studiare il quarto lato
ho la funzione $f(x,y)=e^(y-x^2)-(y^2)/2+y(x^2-1)-1$ su $E={x^2<=y<=1}$
non ho punti stazionari interni ad E ; ho trovato due massimi sulla frontiera in $(0,0) , (0,1)$ ma non riesco a trovare il minimo che ci dovrebbe essere su E per il teo di Weierstrass
guardo sul bordo per vedere se esistono l'estremo superiore e inferiore della funzione.
1) per $g(y)=f(1,y)$ con $y in [0,1]$ ho trovato il Sup in $(1,1)$ e l'Inf in $(1,0)$
2)per $h(x)=f(x,0)$ con $x in [0,1]$ ho trovato un Inf in $(1/e,0)$
3) per $l(x)=f(x,1)$ mi viene un calcolo della derivata complicato
4)non so come studiare il quarto lato
ho la funzione $f(x,y)=e^(y-x^2)-(y^2)/2+y(x^2-1)-1$ su $E={x^2<=y<=1}$
non ho punti stazionari interni ad E ; ho trovato due massimi sulla frontiera in $(0,0) , (0,1)$ ma non riesco a trovare il minimo che ci dovrebbe essere su E per il teo di Weierstrass
Risposte
Si, ma Weierstrass si applica sugli insiemi chiusi e tu hai un'aperto.
Quindi se gli estremi non sono puni interni, non esistono.
Quindi se gli estremi non sono puni interni, non esistono.
Weierstrass vorrei applicarlo alla seconda funzione perchè E è un compatto
questi esercizi io li conosco o.o
tu devi essere un mio collega di corso di analisi II in milano bicocca!
io il secondo ex l'ho fatto. proprio oggi tra l'altro...
se vado a memoria, ho ottenuto due massimi ass alla stessa altezza nei punti $(\pm1, 1)$, una sella in $(0,1)$ e un minimo ass in $(0,0)$. vado a memoria, non sono sicuro in particolare sui punti che stanno sulle ordinate, ma ricordo abbastanza bene che uno dei due era una sella.
osserva comunque che quella $f$ è simmetrica rispetto alle ordinate: $f(x,y)=f(-x,y)$
potrebbe non servire ma... beh, dato che domani abbiamo il parziale, meglio osservare più cose possibile
tu devi essere un mio collega di corso di analisi II in milano bicocca!
io il secondo ex l'ho fatto. proprio oggi tra l'altro...
se vado a memoria, ho ottenuto due massimi ass alla stessa altezza nei punti $(\pm1, 1)$, una sella in $(0,1)$ e un minimo ass in $(0,0)$. vado a memoria, non sono sicuro in particolare sui punti che stanno sulle ordinate, ma ricordo abbastanza bene che uno dei due era una sella.
osserva comunque che quella $f$ è simmetrica rispetto alle ordinate: $f(x,y)=f(-x,y)$
potrebbe non servire ma... beh, dato che domani abbiamo il parziale, meglio osservare più cose possibile
ma se restringo la funzione alla frontiera $f(x,x^2)$ con $ x in [-1,1]$ l'origine non è punto di massimo?
perdonami, ho fatto troppi esercizi oggi. vado più in palla del solito.
ho ottenuto che la restrizione al bordo della funzione ha massimo in $(0,1)$ e minimi alla stessa altezza in $(\pm1,1)$
l'origine non è nulla per la funzione data perchè la restrizione di f alla parabola si annulla in $0$ (ma la restrizione ha punto stazionario! non la f data). e non è un max nè un min perchè la restrizione $f(0,y)$ è monotona crescente al crescere di y.
ho ottenuto che la restrizione al bordo della funzione ha massimo in $(0,1)$ e minimi alla stessa altezza in $(\pm1,1)$
l'origine non è nulla per la funzione data perchè la restrizione di f alla parabola si annulla in $0$ (ma la restrizione ha punto stazionario! non la f data). e non è un max nè un min perchè la restrizione $f(0,y)$ è monotona crescente al crescere di y.
Veramente ci sono due massimi: $(0,0)\ f=1$, $(0,1)\ f=e-3/2 $e due minimi in $(\pm1,1)\ f=1/2$.
l'origine non è un massimo poichè la restrizione $f(0,y)$ è monotona crescente al crescere di y. se l'origine fosse un punto stazionario per $f$, sarebbe quindi una sella. poichè invece è punto stazionario solo per la restrizione, non è un punto significativo per la $f$
mi spieghi perchè $(+-1,1)$ sono minimi?
la restrizione $f(x,1)$ ha derivata $f'(x,1) = -2xe^{1-x^2}+2x$
questo oggetto si annulla quando $x=0$ e $x=\pm1$.
ma si verifica che è negativo (e quindi la restrizione è monotona decrescente) per $0
l'altra restrizione ha lo stesso comportamento. cioè anche per essa i due punti sono minimi. ora o studi in qualche altro modo ancora questi punti (che potrebbero ancora essere selle), oppure, una volta osservato che l'origine non è un punto significato per f, e che l'altro unico punto che hai è $(0,1)$ che risulta un massimo per $f(x,1)$, applichi weierstrass e affermi che i punti simmetrici sono minimi e quello sulle ordinate è massimo.
scusa la spiegazione spiccia. i concetti ci sono. sono io che inizio a temere che sognerò equazioni stanotte
questo oggetto si annulla quando $x=0$ e $x=\pm1$.
ma si verifica che è negativo (e quindi la restrizione è monotona decrescente) per $0
l'altra restrizione ha lo stesso comportamento. cioè anche per essa i due punti sono minimi. ora o studi in qualche altro modo ancora questi punti (che potrebbero ancora essere selle), oppure, una volta osservato che l'origine non è un punto significato per f, e che l'altro unico punto che hai è $(0,1)$ che risulta un massimo per $f(x,1)$, applichi weierstrass e affermi che i punti simmetrici sono minimi e quello sulle ordinate è massimo.
scusa la spiegazione spiccia. i concetti ci sono. sono io che inizio a temere che sognerò equazioni stanotte
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