Punti stazionari di funzioni a due variabili
Ciao a tutti avrei bisogno di un chiarimento in merito al caso in cui una funzione a due variabili nn abbia punti stazionari. E' necessario che vi sia l'hessiano pari a zero o devono esservi altre condizioni??
grazie mille
grazie mille
Risposte
"ele88":
Ciao a tutti avrei bisogno di un chiarimento in merito al caso in cui una funzione a due variabili nn abbia punti stazionari. E' necessario che vi sia l'hessiano pari a zero o devono esservi altre condizioni??
grazie mille
Se i punti che trovi imponendo il gradiente uguale a zero non sono stazionari allora la matrice hessiana relativa a quei punti deve essere indefinita (saranno punti di sella allora)...se è definita negativa hai un punto di massimo, se è definita positiva hai un punto di minimo.
"nirvana":
[quote="ele88"]Ciao a tutti avrei bisogno di un chiarimento in merito al caso in cui una funzione a due variabili nn abbia punti stazionari. E' necessario che vi sia l'hessiano pari a zero o devono esservi altre condizioni??
grazie mille
Se i punti che trovi imponendo il gradiente uguale a zero non sono stazionari allora la matrice hessiana relativa a quei punti deve essere indefinita (saranno punti di sella allora)...se è definita negativa hai un punto di massimo, se è definita positiva hai un punto di minimo.[/quote]
Scusate ma la terminologia prevede che se il gradiente è eguale a zero in un punto quel punto si chiama stazionario
(e su questo non ho dubbi).
Poi, se un punto è stazionario, ma non è né di massimo né di minimo non è detto che sia una sella - la matrice hessiana
può avere autovalori nulli - per convincersi di questo basta pensare ai flessi orrizontali in una variabile.
Forse sarebbe meglio chiarire il senso della domada originaria.
allora vado per gradi presupponiamo la funzione f(x,y) sia x^2+y^2-3x+2y
calcolo innanzi tutto le derivate prime f'x= 2x-3 e f'y= 2y+2 ponendole a sistema e uguali a zero ottengo 1 punto P(3/2,-1) che è il punto stazionario della f(x,y) caolcolo poi le derivate seconde f''xx=2 f''xy=0 f''yy=2 e f''yx=0
l'H risulta pari a 4-0=4>0 poichè f''xx=2>0 il punto P è un punto di minimo...
Esatto?? ma nel caso in cui la f(x,y) sia per esempio f(x,y)=x^2+4xy+2y^2 in cui ponendo a sistema ottengo x=0 e y=0 il punto va considerato come punto stazionario?? devo procedere come fatto sopra??
se l'H poi risulta pari a zero quale sarà la soluzione dell'esercizio??
grazie,scusate per la tortuosità
ele
calcolo innanzi tutto le derivate prime f'x= 2x-3 e f'y= 2y+2 ponendole a sistema e uguali a zero ottengo 1 punto P(3/2,-1) che è il punto stazionario della f(x,y) caolcolo poi le derivate seconde f''xx=2 f''xy=0 f''yy=2 e f''yx=0
l'H risulta pari a 4-0=4>0 poichè f''xx=2>0 il punto P è un punto di minimo...
Esatto?? ma nel caso in cui la f(x,y) sia per esempio f(x,y)=x^2+4xy+2y^2 in cui ponendo a sistema ottengo x=0 e y=0 il punto va considerato come punto stazionario?? devo procedere come fatto sopra??
se l'H poi risulta pari a zero quale sarà la soluzione dell'esercizio??
grazie,scusate per la tortuosità
ele
"ele88":
ma nel caso in cui la f(x,y) sia per esempio f(x,y)=x^2+4xy+2y^2 in cui ponendo a sistema ottengo x=0 e y=0 il punto va considerato come punto stazionario?? devo procedere come fatto sopra??
Sì
"ele88":
se l'H poi risulta pari a zero quale sarà la soluzione dell'esercizio??
Dipende dalla $f''_(x x)$
Dipende dalla f''xx
Potresti spiegare meglio in che modo funziona questa dipendenza a livello pratico, magari con un esempio??
Grazie, ciao