Punti stazionari con parametro

[maschinna]

Salve, un problema che ho trovato sul mio manuale di matematica dice:
Per quali valori di a la funzione $ y=x^3+2ax^2+1/3x-a $ non presenta né massimi né minimi?
Io avrei pensato di porre $ y'>0 $ per cui $ -1/2 Sostituendo la a=+-1/2 alla y, trovo che la funzione non ha massimi o minimi, ma il libro dà come soluzione solo $ -1/2 Grazie

[Berationalgetreal]

Condizione necessaria, ma non sufficiente, affinchè la funzione abbia dei massimi e dei minimi è che la derivata prima si annulli.
La derivata prima è
\[ y' = 3 x^2 + 4ax + \frac{1}{3} \]

quindi dobbiamo studiare le radici di

\[ 3x^2 + 4ax + \frac{1}{3} = 0 \]

Come sappiamo, un'equazione di secondo grado ha soluzioni reali $iff $ il suo discriminante $\Delta \geq 0 $. Quindi dobbiamo imporre

\[ \Delta = 16 a^2 - 4 \geq 0 \iff a \leq - \frac{1}{2} \ oppure \ a \geq\frac{1}{2} \]

Da cui, i valori di $a$ per cui non ci sono punti stazionari, e in particolare punti di massimo e di minimo, sono $-\frac{1}{2} < a < \frac{1}{2} $. In realtà, tuttavia, non ci sono nè massimi nè minimi neanche per $a = \pm \frac{1}{2} $, perchè si tratta di punti di flesso a tangente orizzontale. Quindi, la funzione non ha nè massimi nè minimi per $- \frac{1}{2} \leq a \leq \frac{1}{2} $.