Punti stazionari comuni a due funzioni
Ciao a tutti!
Non riesco mica ad impostare l'inizio di questo problema di massimi e minimi:
Testo:
Calcolare per quali valori di $alpha$ le due funzioni ammettono punti stazionari in comune e classificarli:
$F(x,y)=alpha^2x^2+2alphaxy+y^2$ e $g(x,y)=(y-x+2)^3$
Solitamente si calcolano i punti stazionari con le derivate e poi si classificano i punti.. Ma in questo caso come faccio a trovare i punti in comune? Avevo pensato di porre uguali le derivate ma non riesco a trovare il valore di $alpha$. Ho pensato anche di rappresentare graficamente le funzioni ma niente da fare..
Grazie mille
Ciaoo
Non riesco mica ad impostare l'inizio di questo problema di massimi e minimi:
Testo:
Calcolare per quali valori di $alpha$ le due funzioni ammettono punti stazionari in comune e classificarli:
$F(x,y)=alpha^2x^2+2alphaxy+y^2$ e $g(x,y)=(y-x+2)^3$
Solitamente si calcolano i punti stazionari con le derivate e poi si classificano i punti.. Ma in questo caso come faccio a trovare i punti in comune? Avevo pensato di porre uguali le derivate ma non riesco a trovare il valore di $alpha$. Ho pensato anche di rappresentare graficamente le funzioni ma niente da fare..
Grazie mille
Ciaoo
Risposte
Risolvi i due sistemi di equazioni che vengono fuori ponendo i gradienti delle funzioni pari a zero. Nel caso di $g$ avrai delle soluzioni ben determinate, per $F$ esse dipenderanno dal parametro $\alpha$. A quel punto dovrebbe essere facile trovare i valori di alfa in modo che le soluzioni dei due sistemi coincidano.
Ciao!
Ho provato a fare come mi hai suggerito.. ed in effetti il risultato è giusto.. però poi quando vado a classificare i punti come considero $alpha$?
Prima trovo $alpha$...
derivata di $f$
$ { ( 2alpha^2x+2alphay=0 ),( 2alphax+2y=0 ):} $
derivata di $g$
$ { ( -3(y-x+2)^2=0 ),( 3(y-x+2)^2=0 ):} $ che equivale a $ { ( |(y-x+2)|=0 ),(|(y-x+2)|=0 ):} $
Adesso ponendo la derivata di $f$ uguale a $0$ risulta
$ { ( AAx ),( y=-alphax ):} $
quindi vado a sostituire quel valore di $y$ dentro al sistema di $g$ ed ottengo
$x=2/(alpha+1)$
quindi per $alpha!=1$ le due funzioni ammettono punti in comune.
Però ora non riesco a capire come classificarli.. perchè per la funzione $f$ risultano dei punti di minimo.. per la funzione $g$ dei punti di sella. Devo considerare $alpha$ come costante?
Grazie
Ciao!
Ho provato a fare come mi hai suggerito.. ed in effetti il risultato è giusto.. però poi quando vado a classificare i punti come considero $alpha$?
Prima trovo $alpha$...
derivata di $f$
$ { ( 2alpha^2x+2alphay=0 ),( 2alphax+2y=0 ):} $
derivata di $g$
$ { ( -3(y-x+2)^2=0 ),( 3(y-x+2)^2=0 ):} $ che equivale a $ { ( |(y-x+2)|=0 ),(|(y-x+2)|=0 ):} $
Adesso ponendo la derivata di $f$ uguale a $0$ risulta
$ { ( AAx ),( y=-alphax ):} $
quindi vado a sostituire quel valore di $y$ dentro al sistema di $g$ ed ottengo
$x=2/(alpha+1)$
quindi per $alpha!=1$ le due funzioni ammettono punti in comune.
Però ora non riesco a capire come classificarli.. perchè per la funzione $f$ risultano dei punti di minimo.. per la funzione $g$ dei punti di sella. Devo considerare $alpha$ come costante?
Grazie
Ciao!
I punti comuni sembrano quelli. Ora hai in pratica i seguenti valori $(1/{\alpha+1},\ -{\alpha}/{\alpha+1})$ che sono i punti stazionari comuni al variare di $\alpha$. Calcoliamo l'hessiana delle due funzioni
$H_f=|(4\alpha,2\alpha),(2\alpha,2)|=4\alpha-4\alpha=0$
$H_g=|(6(y-x+2),-6(y-x+2)),(-6(y-x+2),6(y-x+2))|=0$
per cui con l'hessiana non risolvi molto.
Andiamo allora ad analizzare singolarmente cosa accade.
Per la funzione $g$ ricorda che i punti stazionari sono del tipo $y=x-2$: se sostituiamo si ha $g(x,x-2)=0$ pertanto la funzione è nulla lungo tale retta. Ora, dal momento che la funzione è cubica, a seconda che $y>x-2$ o $y
Per la seconda, osserva che sostituendo i punti determinati primi si ha $f(1/{1+\alpha},-{\alpha}/{1+\alpha})=0$. Tuttavia, possiamo scrivere
$f(x,y)=(\alpha x+y)^2$
pertanto, ragionando come prima, in questo caso il valore zero è il minimo possibile per la funzione $f$ (essendo un quadrato, sarà $f\ge 0$) e pertanto tali punti sono minimi.
$H_f=|(4\alpha,2\alpha),(2\alpha,2)|=4\alpha-4\alpha=0$
$H_g=|(6(y-x+2),-6(y-x+2)),(-6(y-x+2),6(y-x+2))|=0$
per cui con l'hessiana non risolvi molto.
Andiamo allora ad analizzare singolarmente cosa accade.
Per la funzione $g$ ricorda che i punti stazionari sono del tipo $y=x-2$: se sostituiamo si ha $g(x,x-2)=0$ pertanto la funzione è nulla lungo tale retta. Ora, dal momento che la funzione è cubica, a seconda che $y>x-2$ o $y
Per la seconda, osserva che sostituendo i punti determinati primi si ha $f(1/{1+\alpha},-{\alpha}/{1+\alpha})=0$. Tuttavia, possiamo scrivere
$f(x,y)=(\alpha x+y)^2$
pertanto, ragionando come prima, in questo caso il valore zero è il minimo possibile per la funzione $f$ (essendo un quadrato, sarà $f\ge 0$) e pertanto tali punti sono minimi.
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