Punti stazionari

[dark.hero]

Ciao a tutti. devo trovare e classificare i punti stazionari di questa funzione

$ f(x,y)=x^(3)/3 -4x +sin(y)^4 +1 $

riesco a trovare i punti che sono questi:

$ (+2;+hpi),(-2;+hpi),(+2;+pi/2 +kpi),(-2;+pi/2 +kpi) $

analizzo il punto $ (+2;+hpi) $ (che so dai risultati essere di minimo)

metodo della matrice hessiana: calcolo gli autovalori -> mi escono 0 e 4 quindi è inefficace

metodo del determinante hessiano: determinante = 0 quindi è inefficace

ho provato anche con le restrizioni di f nel punto ma senza successo.


come posso fare?
grazie

[dark.hero]

siamo nel caso n=2. può aiutare?

[dissonance]

"dark.hero":metodo della matrice hessiana: calcolo gli autovalori -> mi escono 0 e 4 quindi è inefficace

metodo del determinante hessiano: determinante = 0 quindi è inefficace

Al volo: il determinante di una matrice si annulla se e solo se tra i propri autovalori la matrice ha anche lo zero. Quindi data una matrice Hessiana, per prima cosa calcolane il determinante, che non è troppo oneroso come conti: se ottieni 0 è inutile procedere con il calcolo degli autovalori. Questo accorgimento ti risparmia un po' di lavoro.

[Rigel1]

Puoi anche tenere conto del fatto che $f(x,y) = h(x) + g(y)$; di conseguenza $(x_0,y_0)$ è di massimo [minimo] relativo per $f$ se e solo se
$x_0$, $y_0$ sono di massimo [minimo] relativo rispettivamente per $h$ e $g$.

[dark.hero]

"Rigel":Puoi anche tenere conto del fatto che $f(x,y) = h(x) + g(y)$; di conseguenza $(x_0,y_0)$ è di massimo [minimo] relativo per $f$ se e solo se
$x_0$, $y_0$ sono di massimo [minimo] relativo rispettivamente per $h$ e $g$.

con questo metodo come posso valutare se un punto è di sella?

[Rigel1]

Se hai $h'(x_0) = 0$ e $g'(y_0) = 0$ allora il punto è stazionario.
Se $x_0$ è di minimo relativo per $h$ e $y_0$ è di minimo relativo per $g$, allora $(x_0, y_0)$ è di minimo relativo per $f$; stessa cosa dicasi per i massimi relativi.
In tutti gli altri casi il punto $(x_0, y_0)$ non è né di massimo né di minimo relativo per $f$.

[dark.hero]

ma nella mia funzione $ f(x,y)=x^(3)/3 -4x +sin(y)^4 +1 $

quali sono $h(x)$ e $g(y)$ ?

l'1 dove sta?

[Rigel1]

Le costanti le puoi mettere dove vuoi, non alterano la posizione di max e min.
Puoi prendere, ad esempio,
$h(x) = x^3/3-4x$, $g(y) = \sin^4 y + 1$.

[dark.hero]

molte funzioni non sono nella forma $ h(x) + g(y) $. per questi come procedo? c'è un metodo unico?

ho letto nel forum che devo calcolare $ f(x,y) - f(x0,y0) > 0 $

quindi consideranto il punto $ (+2;pi/2 +kpi) $ (che so dai risultati essere di sella) ottengo

$ f(x,y) - f(x0,y0) = x^(3)/3 -4x +sin(y)^4 + 1 - 10/3 $

$ x^(3)/3 -4x +sin(y)^4 + 1 - 10/3 > 0 $

inserisco $ x=0 $ e ottengo $ sin(y)^4 > 13/3 $ cioè mai quindi $ f(x,y) - f(x0,y0) $ è < 0 (ok?)

se inserisco $ y=0 $ e ottengo $ x^(3)/3 -4x > 10/3 $ cioè $ x > +-(sqrt(22/3)) $

qui mi blocco

[Rigel1]

"dark.hero":molte funzioni non sono nella forma $ h(x) + g(y) $. per questi come procedo? c'è un metodo unico?

E' chiaro che non tutte sono di quella forma. I metodi sono quelli che già conosci.

ho letto nel forum che devo calcolare $ f(x,y) - f(x0,y0) > 0 $

E se riguardi la definizione di minimo relativo dovrebbe anche esserti chiaro il motivo.

quindi consideranto il punto $ (+2;pi/2 +kpi) $ (che so dai risultati essere di sella) ottengo

$ f(x,y) - f(x0,y0) = x^(3)/3 -4x +sin(y)^4 + 1 - 10/3 $

$ x^(3)/3 -4x +sin(y)^4 + 1 - 10/3 > 0 $

inserisco $ x=0 $ e ottengo $ sin(y)^4 > 13/3 $ cioè mai quindi $ f(x,y) - f(x0,y0) $ è < 0 (ok?)

se inserisco $ y=0 $ e ottengo $ x^(3)/3 -4x > 10/3 $ cioè $ x > +-(sqrt(22/3)) $

A che serve inserire $x=0$ oppure $y=0$, visto che stai studiando l'incremento in un intorno di $(2, \pi/2 + k \pi)$?

Quei punti sono di sella perché $x_0=2$ è di minimo relativo per $h(x)$, mentre $y_0=\pi/2+k\pi$ ($k\in Z$)
è di massimo relativo (anzi assoluto) per $h(y)$.

[dark.hero]

$ h(x) = x^3/3-4x $
$ h(2) = 32/3 $

quindi faccio

$ x^3/3-4x - 32/3 > 0$

ottengo

$ x1>32 , x2>+sqrt(44) , x3<-sqrt(44) $

da qui come concludo che è di minimo?

[Rigel1]

$h'(x) = x^2-4$, da cui $h'(2) = 0$; inoltre $h' < 0$ in un intorno sinistro di $2$, mentre $h'>0$ in un intorno destro di $2$, quindi $x_0=2$
è un punto di minimo relativo per $h$.

[dark.hero]

grazie penso di aver capito. però ho un problema

$ g(y) = sin(y)^4 +1 $

$ g'(y) = 4sin(y)^(3)cos(y) $

$ g'(pi/(2) +kpi) = 0 $

ma non riesco a calcolare correttamente il limite perchè mi vengono >0 e <0. quindi sarebbe ancora minimo

[Rigel1]

La funzione $g$ ha punti di massimo assoluto dove $\sin(y) = \pm 1$ (e dunque $\sin^4(y) = 1$), mentre ha punti di minimo assoluto dove $\sin(y) = 0$.

[dark.hero]

ah ecco. quindi $ pi/2 $ è di massimo infatti mi da $ sin()=1 $

grazie procedo con gli altri punti e vedo se ho capito