Punti stazionari

[alexroma1]

Ciao a tutti

Ho un problema con una funzione esponenziale di cui devo trovare i punti stazionari. La funzione è:

$f(x,y) = e^(-x^2-y^2) + xy$

Ho calcolato le derivate prime e le ho messe a sistema (non so come disegnarlo):

(rispetto a x) : $e^(-x^2-y^2) * (-2x) + y = 0$

(rispetto a y) : $e^(-x^2-y^2) * (-2y) + x = 0$

Ora, sicuramente il punto (0,0) è una soluzione del sistema, ma non so come fare a risolvere il sistema per calcolare gli eventuali altri punti stazionari, a causa dell'esponenziale.

Mi pare che si potesse effettuare una semplificazione quando due equazioni di un sistema erano simili, ma non mi ricordo più la regola.

Come trovo gli altri punti stazionari?

Ciao e grazie mille!

[_Tipper]

Sottraendo membro a membro si ottiene:

$-2e^{-x^2-y^2}+y+2ye^{-x^2-y^2}-x=0$

Raccogliendo $2e^{-x^2-y^2}$ si ottiene:

$2e^{-x^2-y^2}(y-x)+y-x=0$

Raccogliendo ora $y-x$ si ottiene:

$(y-x)(2e^{-x^2-y^2}+1)=0$

che si annulla solo per $x=y$, dato che il secondo fattore è somma di due quantità positive.

[alexroma1]

Ho provato ad andare avanti a calcolare le derivate seconde ma mi sono ancora bloccato.

Ottengo come risultato delle derivate seconde:

$(delta^2f)/(deltax^2) = (4x^2-2)*e^(-x^2-y^2)$

$(delta^2f)/(deltaxy) = 4xy*e^(-x^2-y^2) + 1= (delta^2f)/(deltayx)$

$(delta^2f)/(deltay^2) = (4y^2-2)*e^(-x^2-y^2)$

Ma avendo come punto stazionario una retta (x=y) qualsiasi punto su di essa può essere un punto stazionario, giusto?

Quindi per calcolare la matrice Hessiana sulla retta x=y sostituisco x con y in ogni derivata seconda?

[_Tipper]

Sì.

[_nicola de rosa]

$f(x,y)=xy+e^(-x^2-y^2)$
Ora per trovare i punti stazionari devi risolvere il sistema
${(f'_x=-2xe^(-x^2-y^2)+y=0),(f'_y=-2ye^(-x^2-y^2)+x=0):}$
Ora se sommi membro a membro ottieni $-2e^(-x^2-y^2)(y+x)+(y+x)=(y+x)(1-2e^(-x^2-y^2))=0$ cioè
$y=-x,e^(-x^2-y^2)=1/2$
Ora sostituendo $y=-x$ in una delle due equazioni del sistema, ad esempio nella prima, trovi $-2xe^(-2x^2)-x=-x(2e^(-2x^2)+1)=0$ cioè $x=0->y=0$, per cui $(0,0)$ è un punto stazionario.
La condizione $e^(-x^2-y^2)=1/2->x^2+y^2=ln2$ che sostituita in una delle equazioni del sistema fornisce $y=x$ e facendo il sistema
${(x^2+y^2=ln2),(y=x):}$ si ottengono altri due punti stazionari
$(sqrt((ln2)/2),sqrt((ln2)/2)),(-sqrt((ln2)/2),-sqrt((ln2)/2))$.

Quindi i punti stazionari sono 3 e sono
$(0,0),(sqrt((ln2)/2),sqrt((ln2)/2)),(-sqrt((ln2)/2),-sqrt((ln2)/2))$

Ora $f''_(x x)=(4x^2-2)e^(-x^2-y^2),f''_(y y)=(4y^2-2)e^(-x^2-y^2),f''_(x y)=f''_(y x)=4xye^(-x^2-y^2)+1$ per cui il determinante della matrice hessiana è
$D=(4x^2-2)*(4y^2-2)*e^(-2(x^2+y^2))-(4xye^(-x^2-y^2)+1)^2$
Ora $D(0,0)=3>0,f''_(x x)(0,0)=-2<0->(0,0)$ è un massimo
$D(sqrt((ln2)/2),sqrt((ln2)/2))=1/4*(2ln2-2)^2-(ln2+1)^2=(ln2-1)^2-(ln2+1)^2=-4ln2<0->(sqrt((ln2)/2),sqrt((ln2)/2))$ è una sella
$D(-sqrt((ln2)/2),-sqrt((ln2)/2))=1/4*(2ln2-2)^2-(ln2+1)^2=(ln2-1)^2-(ln2+1)^2=-4ln2<0->(-sqrt((ln2)/2),-sqrt((ln2)/2))$ è una sella

[alexroma1]

ok ci sono adesso, grazie mille

perdona la mia ignoranza, ma non mi ricordo come funziona la risoluzione di sistemi mediante il metodo della somma membro a membro.

Me la potresti descrivere velocemente?

Grazie mille e alla prossima!

[Sk_Anonymous]

"alexroma":
perdona la mia ignoranza, ma non mi ricordo come funziona la risoluzione di sistemi mediante il metodo della somma membro a membro.

Mio Dio, è semplicemente una sostituzione...