Punti singolari isolati e residui
Salve a tutti mi complemento per il forum che mi ha salvato in molte occasione. Parto subito con questo esercizio che mi tormenta da un paio di giorni [emoji24] , non riesco a capire come calcolare il residuo in z=i perchè secondo i miei calcoli tale numero annulla anche il numeratore che presenta lo stesso ordine del denominatore nel punto z=i, quindi dovrebbe essere un punto regolare (o eliminabile) con residuo pari a 0, invece in foto nel punto z=i è presente un polo del secondo ordine il cui residuo è z=-1-i, dove sbaglio??
Risposte
Non si capisce niente da questa immagine. Per favore riscrivi il testo usando le [formule][/formule]. Grazie.
Ricorda che $z_0=i$ è un polo di secondo ordine quindi (in generale) data una singolarità isolata $z_0$ supponiamo che sia un polo di ordine $n$ (se fosse una singolarità eliminabile il residuo sarebbe zero) allora $Res_f(z_0)=\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}[(z-z_0)^nf(z)]|_{z=z_0}$
Testo esercizio: classificare i punti singolari isolati e calcorne i residui:
$ f(z)=(z^2+1)/(z(z-1)(z-i)^2) $
il mio problema sorge nel punto singolare isolato $ z=i $ che è uno zero sia del denominatore che del numeratore di ordine 2; nello svolgimento proposto nell'immagine in tale punto troviamo un polo semplice il cui residuo è uguale a $-1 -i $ . Gli appunti presi a lezione riportano che quando il punto isolato, in questo caso i, è uno zero sia del denominatore che del numeratore, allora tale punto è un punto regolare (o eliminabile) e in tal caso il residuo in tale punto vale $ 0 $. Andando ad applicare la condizione necessaria e sufficiente ovvero il
$ lim_(z -> i) f(z)/g(z)=0/0 $
e usando il teorema di de l'hopital data la presenza della forma indeterminata, tale limite diventa:
$ lim_(z -> i) (2z)/((z-1)(z-i)^2 + z(z-i)^2 + 2(z-i)z(z-1))= oo $ .
Di conseguenza il punto z=i risulta essere un polo dato dato che la derivata diverge e siccome dall'equazione di partenza tale polo è di ordine 2 allora il residuo è proprio $-1-i $ (data la formuletta segnalata da dan).La mia domanda è la seguente: devo passare sempre attraverso la condizione sufficiente per classificare un punto singolare isolato oppure è possibile rifarmi agli appunti e considerare semplicemente gli ordini del numeratore e del denominatore, preoccupandomi di valutare se tale punto annulla solo il denominatore oppure entrambi? (Evidentemente c'è qualcosa che mi sfugge altrimenti in tutti e 2 i modi in cui ho risolto l'esercizio dovrei trovarmi lo stesso residuo)
$ f(z)=(z^2+1)/(z(z-1)(z-i)^2) $
il mio problema sorge nel punto singolare isolato $ z=i $ che è uno zero sia del denominatore che del numeratore di ordine 2; nello svolgimento proposto nell'immagine in tale punto troviamo un polo semplice il cui residuo è uguale a $-1 -i $ . Gli appunti presi a lezione riportano che quando il punto isolato, in questo caso i, è uno zero sia del denominatore che del numeratore, allora tale punto è un punto regolare (o eliminabile) e in tal caso il residuo in tale punto vale $ 0 $. Andando ad applicare la condizione necessaria e sufficiente ovvero il
$ lim_(z -> i) f(z)/g(z)=0/0 $
e usando il teorema di de l'hopital data la presenza della forma indeterminata, tale limite diventa:
$ lim_(z -> i) (2z)/((z-1)(z-i)^2 + z(z-i)^2 + 2(z-i)z(z-1))= oo $ .
Di conseguenza il punto z=i risulta essere un polo dato dato che la derivata diverge e siccome dall'equazione di partenza tale polo è di ordine 2 allora il residuo è proprio $-1-i $ (data la formuletta segnalata da dan).La mia domanda è la seguente: devo passare sempre attraverso la condizione sufficiente per classificare un punto singolare isolato oppure è possibile rifarmi agli appunti e considerare semplicemente gli ordini del numeratore e del denominatore, preoccupandomi di valutare se tale punto annulla solo il denominatore oppure entrambi? (Evidentemente c'è qualcosa che mi sfugge altrimenti in tutti e 2 i modi in cui ho risolto l'esercizio dovrei trovarmi lo stesso residuo)
Scusate il doppio post ma siccome non mi arrendo facilmente ho provato anche a scomporre la funzione, quindi:
$ f(z)=(z^2+1)/((z)(z-1)(z-i)^2)=A/z+B/(z-1)+C/(z-i)+D/(z-i)^2 $
che dà origine al seguente sistema:
$ { (A+B+C=0),( -2Ai-A-2Bi-Ci-C+D=1 ),( -A+2Ai-B+Ci=0 ),( A-D=1 ):} $
la cui soluzione é:
$ A=1, B=-1/(i), C=-i-1, D=0 $
Che corrispondono proprio ai residui dei punti singolari e siccome $ D=0 $ il polo in z=i risulta di primo ordine.
Possibile che non ci sia un metodo più veloce??(Dato che con quello degli ordini del numeratore e del denominatore mi viene un punto singolare eliminabile e non un polo di primo ordine)
$ f(z)=(z^2+1)/((z)(z-1)(z-i)^2)=A/z+B/(z-1)+C/(z-i)+D/(z-i)^2 $
che dà origine al seguente sistema:
$ { (A+B+C=0),( -2Ai-A-2Bi-Ci-C+D=1 ),( -A+2Ai-B+Ci=0 ),( A-D=1 ):} $
la cui soluzione é:
$ A=1, B=-1/(i), C=-i-1, D=0 $
Che corrispondono proprio ai residui dei punti singolari e siccome $ D=0 $ il polo in z=i risulta di primo ordine.
Possibile che non ci sia un metodo più veloce??(Dato che con quello degli ordini del numeratore e del denominatore mi viene un punto singolare eliminabile e non un polo di primo ordine)
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