Punti singolari ed integrali complessi
Buona sera ragazzi 
Come prima cosa colgo l'occasione per farvi i miei più sinceri auguri di buone festa,passate e non
.
Mentre tornando all'Analisi Matematica vi espongo il mio problema. Nei vecchi compiti passati( ovviamente senza alcun tipo di soluzione) del corso di Metodi matematici per l'ingegneria ho incontrato un esercizio diviso in due,ovvero
1) Determinare i punti singolari,classificarli e infine calcolare i residui della seguente funzione
$ f(z)=zcos(1/z)+(e^z-1)/(z(z-i)) $
2) Attraverso il calcolo dei residui risolvere il seguente integrale $ oint_(c)z(sin(2/z)-2z/(z^4+4))dz $ ,dove c è una circonferenza percorsa in senso antiorario di centro nell'origine e raggio 2
1) ho visto che i punti dove la funzione non è olomorfa sono soltanto due ovvero $ z0=0 $ $z1=i $.
Mi accorgo subito che per il punto z0=0 ho una singolarità essenziale,ricordando che $ lim_(z -> 0)(e^z-1)/z =1 $ (quindi per il secondo addendo l origine è una singolarità eliminabile),e osservando che ho infiniti termini negativi per il primo addendo ( $ z(1-1/(2z^2)+1/(4!z^4)-1/(6!z^6)...)=z-1/(2z)+1/(4!z^2)-1/(6!z^4)... $ ),da quest ultima posso anche dire che il residuo per f(z) in 0 -1/2.
Per il secondo punto singolare ( z1) invece ho un punto regolare per il primo addendo mentre per il secondo affermo che essendo uno zero del denominatore,che non influisce in alcun modo con il numeratore,ed avendo una derivata prima(rispetto a z) in quel punto diversa da 0 è un polo semplice.Per il calcolo del residuo invece ho sfruttato la linearità dei limiti( non ricordo bene da analisi 1 se sia lecito farlo
) :
$ Res(f,i)=lim_(z -> i)(z-i)zcos(1/z)+lim_(z->i)(z-i)(e^z-1)/(z(z-i))=0+(e^i-1)/i $
2)Qui invece ho il problema per il secondo addendo,ovvero non so come gestire il denominatore $ z^4+4 $,quindi gli zeri dell'equazione.Ovviamente per il centro mi accorgo(con ragionamento fatto prima) che è ESSENZIALE e quindi attraverso la serie di Laurent trovo il residuo.
Mi rendo conto da solo di essermi dilungato abbastanza,ma come dicevo prima non c è uno straccio di soluzione e quindi chiedo a voi se il mio ragionamento è coerente con lo studio delle funzioni complesse e sopratutto come gestireste e svolgereste quell'integrale.
Buona giornata a tutti
Come prima cosa colgo l'occasione per farvi i miei più sinceri auguri di buone festa,passate e non
.Mentre tornando all'Analisi Matematica vi espongo il mio problema. Nei vecchi compiti passati( ovviamente senza alcun tipo di soluzione) del corso di Metodi matematici per l'ingegneria ho incontrato un esercizio diviso in due,ovvero
1) Determinare i punti singolari,classificarli e infine calcolare i residui della seguente funzione
$ f(z)=zcos(1/z)+(e^z-1)/(z(z-i)) $
2) Attraverso il calcolo dei residui risolvere il seguente integrale $ oint_(c)z(sin(2/z)-2z/(z^4+4))dz $ ,dove c è una circonferenza percorsa in senso antiorario di centro nell'origine e raggio 2
1) ho visto che i punti dove la funzione non è olomorfa sono soltanto due ovvero $ z0=0 $ $z1=i $.
Mi accorgo subito che per il punto z0=0 ho una singolarità essenziale,ricordando che $ lim_(z -> 0)(e^z-1)/z =1 $ (quindi per il secondo addendo l origine è una singolarità eliminabile),e osservando che ho infiniti termini negativi per il primo addendo ( $ z(1-1/(2z^2)+1/(4!z^4)-1/(6!z^6)...)=z-1/(2z)+1/(4!z^2)-1/(6!z^4)... $ ),da quest ultima posso anche dire che il residuo per f(z) in 0 -1/2.
Per il secondo punto singolare ( z1) invece ho un punto regolare per il primo addendo mentre per il secondo affermo che essendo uno zero del denominatore,che non influisce in alcun modo con il numeratore,ed avendo una derivata prima(rispetto a z) in quel punto diversa da 0 è un polo semplice.Per il calcolo del residuo invece ho sfruttato la linearità dei limiti( non ricordo bene da analisi 1 se sia lecito farlo
) : $ Res(f,i)=lim_(z -> i)(z-i)zcos(1/z)+lim_(z->i)(z-i)(e^z-1)/(z(z-i))=0+(e^i-1)/i $
2)Qui invece ho il problema per il secondo addendo,ovvero non so come gestire il denominatore $ z^4+4 $,quindi gli zeri dell'equazione.Ovviamente per il centro mi accorgo(con ragionamento fatto prima) che è ESSENZIALE e quindi attraverso la serie di Laurent trovo il residuo.
Mi rendo conto da solo di essermi dilungato abbastanza,ma come dicevo prima non c è uno straccio di soluzione e quindi chiedo a voi se il mio ragionamento è coerente con lo studio delle funzioni complesse e sopratutto come gestireste e svolgereste quell'integrale.
Buona giornata a tutti
Risposte
Non mi sembra ci siano errori in quello che hai scritto. Per quanto riguarda il termine al denominatore, puoi scrivere: $$z^4+4= (z-\sqrt{2} \zeta_{1})(z-\sqrt{2} \zeta_{2})(z-\sqrt{2} \zeta_{3})(z-\sqrt{2} \zeta_{4})$$
dove le $zeta_k = e^{\pi/4+k\pi/2}$ sono le radici quarte di $-1$. Se hai un po' di familiarità con i numeri complessi, ti rendi conto che le soluzioni di $z^4+4=0$ sono i vertici del quadrato inscritto nel cerchio di raggio $\sqrt{2}$ e di cui il primo dei vertici si trova a $\pi/4$ rispetto all'asse $x$. Perciò i poli sono tutti all'interno del cerchio di raggio $2$.
Poiché le radici del denominatore sono tutte distinte e non sono radici del numeratore, i poli sono semplici. Adesso basta calcolare i residui (come hai fatto prima) e poi applicare il teorema dei residui per calcolare l'integrale.
dove le $zeta_k = e^{\pi/4+k\pi/2}$ sono le radici quarte di $-1$. Se hai un po' di familiarità con i numeri complessi, ti rendi conto che le soluzioni di $z^4+4=0$ sono i vertici del quadrato inscritto nel cerchio di raggio $\sqrt{2}$ e di cui il primo dei vertici si trova a $\pi/4$ rispetto all'asse $x$. Perciò i poli sono tutti all'interno del cerchio di raggio $2$.
Poiché le radici del denominatore sono tutte distinte e non sono radici del numeratore, i poli sono semplici. Adesso basta calcolare i residui (come hai fatto prima) e poi applicare il teorema dei residui per calcolare l'integrale.
Grazie mille per la risposta e grazie per aver controllato il primo punto.Devo capire bene le radici dei numeri complessi allora. Ho sempre avuto un "fastidio" per questo argomento e non l ho mai studiato,forse,come dovevo 
Sì, conviene darci un'occhiata
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