Punti oscuri sul teorema di Taylor
Salve ragazzi, Mi è un po oscura la dimostrazione di tale Teorema
Teorema : Formula di taylor con il resto di Peano.
$f : ]a,b[ --> RR$ . $x_0 \in ]a,b[$. f derivabile n volte in $x_0$
Allora $AA x_0 \in RR \ tc \ x_0+h \in ]a,b[$ si ha che (1) $f(x_0+h)=\sum_(k=0)^n(f^(n)(x_0)h^k)/(k!) + \sigma(h)$ .
Ove $(\sigma(h)) / h^n -> 0 $ per $h -> 0$
Il mio professore ha deciso di dimostrarlo solo nel caso $n=2$ , la dimostrazione procede in questo modo.
Se $n=2$ allora $f$ è derivabile 2 volte nel punto $x_0$. Voglio provare che $f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h + f''(x_0)h^2/2 + \sigma(h)$ dove
$(\sigma(h)) / h^2 -> 0 $ per $h -> 0$. Posto $\sigma(h) = f(x_0+h)-f(x_0)-f'(x_0)h - f''(x_0)h^2/2$
da qui allora arriva a considerare $lim_{h->0) (f(x_0+h)-f(x_0)-f'(x_0)h - f''(x_0)h^2/2)/h^2$ . Poiché sia il numeratore che il denominatore sono entrambi infinitesimi, sono soddisfatte le ipotesi del teorema di De Hopital, Applicando hopital
Giunge a provare che $lim_{h->0) (f(x_0+h)-f(x_0)-f'(x_0)h - f''(x_0)h^2/2)/h^2 =0$ e che quindi effettivamente $\sigma(h)$ è un infinitesimo di ordine superiore , per n=2 , rispetto ad $h^2$.
Ok, d'accordo, sembra che la seconda parte del teorema sia provata.
La mia domanda è la seguente : In luce di questo, cosa mi permette di dire che per $n=2$ vale effettivamente la (1)?
Grazie mille
Teorema : Formula di taylor con il resto di Peano.
$f : ]a,b[ --> RR$ . $x_0 \in ]a,b[$. f derivabile n volte in $x_0$
Allora $AA x_0 \in RR \ tc \ x_0+h \in ]a,b[$ si ha che (1) $f(x_0+h)=\sum_(k=0)^n(f^(n)(x_0)h^k)/(k!) + \sigma(h)$ .
Ove $(\sigma(h)) / h^n -> 0 $ per $h -> 0$
Il mio professore ha deciso di dimostrarlo solo nel caso $n=2$ , la dimostrazione procede in questo modo.
Se $n=2$ allora $f$ è derivabile 2 volte nel punto $x_0$. Voglio provare che $f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h + f''(x_0)h^2/2 + \sigma(h)$ dove
$(\sigma(h)) / h^2 -> 0 $ per $h -> 0$. Posto $\sigma(h) = f(x_0+h)-f(x_0)-f'(x_0)h - f''(x_0)h^2/2$
da qui allora arriva a considerare $lim_{h->0) (f(x_0+h)-f(x_0)-f'(x_0)h - f''(x_0)h^2/2)/h^2$ . Poiché sia il numeratore che il denominatore sono entrambi infinitesimi, sono soddisfatte le ipotesi del teorema di De Hopital, Applicando hopital
Giunge a provare che $lim_{h->0) (f(x_0+h)-f(x_0)-f'(x_0)h - f''(x_0)h^2/2)/h^2 =0$ e che quindi effettivamente $\sigma(h)$ è un infinitesimo di ordine superiore , per n=2 , rispetto ad $h^2$.
Ok, d'accordo, sembra che la seconda parte del teorema sia provata.
La mia domanda è la seguente : In luce di questo, cosa mi permette di dire che per $n=2$ vale effettivamente la (1)?
Grazie mille
Risposte
Forse non ho capito la domanda, ma a me la risposta sembra questa:
"Kashaman":
Posto $\sigma(h) = f(x_0+h)-f(x_0)-f'(x_0)h - f''(x_0)h^2/2$
ciao retrocomputer,forse mi sono espresso male io, ti ringrazio ugualmente per la risposta.
Probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua. Il problema è questo :
Dalla dimostrazione ho detto mi sembra che si sia assunto vero che per $n=2$ vale
$f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+f''(x_0)h^2 /2 + \sigma(h)$ e si sia dimostrato semplicemente che $\sigma(h)$ sia un infinitesimo di ordine superiore rispetto ad $h^2$.
Il problema cruciale è questo : cosa effettivamente mi permette di dire che per $n=2$ vale effettivamente questa relazione : $f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+f''(x_0)h^2 /2 + \sigma(h)$ ?
Grazie mille
Probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua. Il problema è questo :
Dalla dimostrazione ho detto mi sembra che si sia assunto vero che per $n=2$ vale
$f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+f''(x_0)h^2 /2 + \sigma(h)$ e si sia dimostrato semplicemente che $\sigma(h)$ sia un infinitesimo di ordine superiore rispetto ad $h^2$.
Il problema cruciale è questo : cosa effettivamente mi permette di dire che per $n=2$ vale effettivamente questa relazione : $f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+f''(x_0)h^2 /2 + \sigma(h)$ ?
Grazie mille
"Kashaman":
Il problema cruciale è questo : cosa effettivamente mi permette di dire che per $n=2$ vale effettivamente questa relazione : $f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+f''(x_0)h^2 /2 + \sigma(h)$ ?
C'è un teorema molto generale che dice che qualsiasi numero è uguale a un qualsiasi altro numero più un resto; applica questo teorema con:
qualsiasi numero = \(f(x_0+h)\)
qualsiasi altro numero = \(f(x_0) + f'(x_0) h + f''(x_0) h^2/2\)
resto = \(\sigma(h)\)
ciao Rigel, ti stai riferendo al teorema di divisione euclidea?
No, mi sto riferendo al fatto che se hai due numeri reali \(a\) e \(b\) esiste sempre un terzo numero reale \(\sigma\) (chiamiamolo resto) tale che \(a = b+\sigma\); basta infatti porre \(\sigma = a-b\).
"Kashaman":
Il problema cruciale è questo : cosa effettivamente mi permette di dire che per $n=2$ vale effettivamente questa relazione : $f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+f''(x_0)h^2 /2 + \sigma(h)$ ?
Lo scopo del teorema è quello di provare che $f(x_0+h)$ si può scrivere come somma di un particolare polinomio di secondo grado con le derivate in $x_0$ e di una parte non bene identificata ma che affermiamo essere infinitesima di ordine superiore al secondo: bene, la dimostrazione prende il suddetto polinomio particolare, lo sottrae a $f(x_0+h)$ e prova che effettivamente quello che avanza è infinitesimo.
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