Punti isolati e continuità

[Meetmat]

Il mio dubbio è il seguente:

Come proposizione viene detto (sul libro di analisi) che :

Siano $ (X,d_x) $ e $ (Y,d_y) $ spazi metrici, $ E sub X, x_0 inX $ e $ f:E->Y $. Allora

(i) se $ x_0 $ è un punto di isolato di $ E $, allora $ f $ è continua in $ x_0 $.


Innanzitutto la cosa che mi turba è che, mentre sul mio libro è data come proposizione, sul pagani salsa (v.o.) viene data come definizione.
In ogni caso, se $ x_0 $ è un punto isolato vuol dire che sono in grado di trovare un suo intorno che non contiene punti diversi da lui stesso; ma, arrivati qua ed applicando la definizione di continuità, mi trovo in difficoltà perchè non riesco a vedere bene cosa vuol dire $ d_x(x,x_0)

Cita

Segnala

---

Risposte

stormy1

17 apr 2014, 17:59

proprio perchè non si può applicare la definizione di continuità per i punti isolati,si conviene che in questi punti una funzione debba ritenersi sempre continua
in un certo senso,"si taglia la testa al toro"

Cita

Segnala

---

Meetmat

17 apr 2014, 18:45

Quindi sarebbe più giusto considerare tale enunciato come una definizione piuttosto che come una proposizione, sbaglio?

Cita

Segnala

---

gugo82

17 apr 2014, 18:51

@ stormy:

"stormy":proprio perchè non si può applicare la definizione di continuità per i punti isolati

Scusa, ma non vedo dove sia il problema... Perché la definizione di continuità non sarebbe applicabile nei punti isolati?

Cita

Segnala

---

Meetmat

17 apr 2014, 19:04

Come posso parlare di distanza di un punto da un altro se uno dei due non è presente ?
Posso dunque dire che in un certo senso il Pagani-Salsa ha ragione cioè che è per continua in un punto isolato per definizione?

Cita

Segnala

---

gugo82

17 apr 2014, 20:56

Continuo a non capire...

La definizione è la seguente:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta>0:\ \forall x\in E\cap B_X (x_0;\delta),\quad f(x)\in B_Y \left( f(x_0);\varepsilon\right)\; ,
\]
in cui:
\[
\begin{split}
B_X (x_0;\delta) &:= \left\{x\in X:\ d_X(x,x_0)<\delta \right\}\\
B_Y \left( f(x_0);\varepsilon \right) &:= \left\{y\in Y:\ d_Y( y,f(x_0))<\varepsilon \right\}\; ,
\end{split}
\]
e non mi pare che se \(E\cap B(x_0;\delta)=\{x_0\}\) ci siano problemi.

Ma, anche non volendo usare una formulazione insiemistica, cioé usando le disuguaglianze:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta>0:\ \forall x\in E,\quad d_X(x,x_0)<\delta \ \Rightarrow \ d_Y \left( f(x), f(x_0)\right) < \varepsilon\; ,
\]
non vedo che problema ci sia quando l'unico punto \(x\) di \(E\) a soddisfare una stima del tipo \(d_X(x,x_0)<\delta\) sia il solo \(x_0\)...


Quello che viene a cadere nei punti isolati non è la definizione di continuità, bensì la possibilità di pensare alla continuità in termini di limite.
In altre parole, se \(x_0\) è un punto isolato di \(E\) non è vero che la continuità di \(f\) in \(x_0\) può essere caratterizzata dall'uguaglianza:
\[
\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)\; ,
\]
come invece accade nei punti di accumulazione. Infatti, per parlare di limite, c'è bisogno che per tutti i \(\delta>0\) "piccoli" l'insieme \(E\cap B(x_0;\delta)\) non sia costituito dal solo punto \(x_0\), e ciò non si verifica nei punti isolati.
Quindi è la definizione di limite a non funzionare nei punti isolati, non quella di continuità.

Cita

Segnala

---

Meetmat

17 apr 2014, 23:04

Si hai proprio ragione: non c'è niente di strano. Mi ero perso in un bicchier d'acqua.
Grazie di tutto.

Cita

Segnala

---

Rispondi

Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.

[stormy1]

proprio perchè non si può applicare la definizione di continuità per i punti isolati,si conviene che in questi punti una funzione debba ritenersi sempre continua
in un certo senso,"si taglia la testa al toro"

[Meetmat]

Quindi sarebbe più giusto considerare tale enunciato come una definizione piuttosto che come una proposizione, sbaglio?

[gugo82]

@ stormy:

"stormy":proprio perchè non si può applicare la definizione di continuità per i punti isolati

Scusa, ma non vedo dove sia il problema... Perché la definizione di continuità non sarebbe applicabile nei punti isolati?

[Meetmat]

Come posso parlare di distanza di un punto da un altro se uno dei due non è presente ?
Posso dunque dire che in un certo senso il Pagani-Salsa ha ragione cioè che è per continua in un punto isolato per definizione?

[gugo82]

Continuo a non capire...

La definizione è la seguente:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta>0:\ \forall x\in E\cap B_X (x_0;\delta),\quad f(x)\in B_Y \left( f(x_0);\varepsilon\right)\; ,
\]
in cui:
\[
\begin{split}
B_X (x_0;\delta) &:= \left\{x\in X:\ d_X(x,x_0)<\delta \right\}\\
B_Y \left( f(x_0);\varepsilon \right) &:= \left\{y\in Y:\ d_Y( y,f(x_0))<\varepsilon \right\}\; ,
\end{split}
\]
e non mi pare che se \(E\cap B(x_0;\delta)=\{x_0\}\) ci siano problemi.

Ma, anche non volendo usare una formulazione insiemistica, cioé usando le disuguaglianze:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta>0:\ \forall x\in E,\quad d_X(x,x_0)<\delta \ \Rightarrow \ d_Y \left( f(x), f(x_0)\right) < \varepsilon\; ,
\]
non vedo che problema ci sia quando l'unico punto \(x\) di \(E\) a soddisfare una stima del tipo \(d_X(x,x_0)<\delta\) sia il solo \(x_0\)...


Quello che viene a cadere nei punti isolati non è la definizione di continuità, bensì la possibilità di pensare alla continuità in termini di limite.
In altre parole, se \(x_0\) è un punto isolato di \(E\) non è vero che la continuità di \(f\) in \(x_0\) può essere caratterizzata dall'uguaglianza:
\[
\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)\; ,
\]
come invece accade nei punti di accumulazione. Infatti, per parlare di limite, c'è bisogno che per tutti i \(\delta>0\) "piccoli" l'insieme \(E\cap B(x_0;\delta)\) non sia costituito dal solo punto \(x_0\), e ciò non si verifica nei punti isolati.
Quindi è la definizione di limite a non funzionare nei punti isolati, non quella di continuità.

[Meetmat]

Si hai proprio ragione: non c'è niente di strano. Mi ero perso in un bicchier d'acqua.
Grazie di tutto.