Punti interi in un disco
Salve ho trovato un esercizio relativamente agli integrali in più variabili abbastanza inusuale
Per il primo punto avrei ragionato così : per ogni $r>0$ ho $[r] \le r \le [r]+1$ sicché $N_{[r]}\le N_{r} \le N_{[r]+1}$. Non so se ho calcolato bene $N_{[r]}$ ma sembra uscirmi tutt'altro limite!
Sapreste darmi qualche hint/ consiglio?
Sia $D$ il cerchio del piano di centro l'origine e raggio $r$ e $N_{r}$ il numero di coordinate intere del cerchio, cioè
\[
D_{r}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2} : x^{2}+y^{2}\le r^{2}\} \qquad N_{r}=|\{ (p,q)\in \mathbb{Z}^{2} : (p,q)\in D_{r} \}|
\]
i) Provare che
\[
\displaystyle \lim_{r\to +\infty} \frac{N_{r}}{r^{2}}=\pi
\]
ii) Dimostrare che
\[
|N_{r}-\pi r^{2}|\le 8\big(r+\frac{1}{2}\big )
\]
Per il primo punto avrei ragionato così : per ogni $r>0$ ho $[r] \le r \le [r]+1$ sicché $N_{[r]}\le N_{r} \le N_{[r]+1}$. Non so se ho calcolato bene $N_{[r]}$ ma sembra uscirmi tutt'altro limite!
Sapreste darmi qualche hint/ consiglio?
Risposte
Da dove lo hai preso? Non mi sembra così immediato, comunque;
ho provato a tirar fuori qualcosa e mi è uscito(sostanzialmente conti l'origine, i punti sugli assi tranne l'origine e poi i punti che non stanno sugli assi)
ti lascio sotto spoiler, se ne avessi bisogno, una mia possibile soluzione
ho provato a tirar fuori qualcosa e mi è uscito(sostanzialmente conti l'origine, i punti sugli assi tranne l'origine e poi i punti che non stanno sugli assi)
$N_r=1+4floor(r)+4sum_(k=1)^(floor(r))floor(sqrt(r^2-k^2))$
ti lascio sotto spoiler, se ne avessi bisogno, una mia possibile soluzione
@anto: c'è sicuramente del vero in quanto dici, ma non mi è chiaro come ottieni la prima formula. (Inoltre mi urta un po' la dicitura "teorema ponte", vabbé, questo è un problema mio). Ovviamente è il terzo termine quello importante.
Un approccio alternativo: consideriamo, attorno ad ogni punto a coordinate intere, un quadratino di lato \(1\). Quindi, l'area di questo quadratino è pure essa uguale a 1, e il numero \(N_r\) è uguale alla somma delle aree di tutti questi quadratini. Ma tali quadratini ricoprono il cerchio, quindi
\[
\pi r^2\le N_r.\]
Se ora si fissa \(\epsilon >0\) e si considerano quadratini di lato \(1-\epsilon\), si ottiene per \(r\) sufficientemente grande una disuguaglianza nell'altro verso:
\[
\tag{DA DIMOSTRARE} N_r(1-\epsilon)^2\le \pi r^2.\]
Etc...
Un approccio alternativo: consideriamo, attorno ad ogni punto a coordinate intere, un quadratino di lato \(1\). Quindi, l'area di questo quadratino è pure essa uguale a 1, e il numero \(N_r\) è uguale alla somma delle aree di tutti questi quadratini. Ma tali quadratini ricoprono il cerchio, quindi
\[
\pi r^2\le N_r.\]
Se ora si fissa \(\epsilon >0\) e si considerano quadratini di lato \(1-\epsilon\), si ottiene per \(r\) sufficientemente grande una disuguaglianza nell'altro verso:
\[
\tag{DA DIMOSTRARE} N_r(1-\epsilon)^2\le \pi r^2.\]
Etc...
Grazie ad entrambi. Per ora provo a seguire la strada di @Anto_zoolander
L'ho preso da qui http://dida.sns.it/dida2/Members/abbo/analisi2/int.tex
L'ho preso da qui http://dida.sns.it/dida2/Members/abbo/analisi2/int.tex
@peppe
Beh, non sarà standard, ma è comunque classico.
Consideriamo i quadrati di lato unitario centrati nei punti a coordinate intere, i.e. gli insiemi del tipo:
\[
Q(p,q) = \{ (x,y) :\ |x - p|, |y - q| \leq 1/2 \}
\]
con $(p,q) in ZZ^2$. Chiaramente, $N(r)$ coincide col numero di quadrati $Q(p,q)$ aventi centro $(p,q) in D_r$ e, poiché i quadrati hanno area unitaria, $N(r)$ coincide anche con l’area del plurirettangolo ottenuto unendo i vari $Q(p,q)$ aventi centro in $D_r$:
\[
N(r) = \sum_{(p,q) \in D_r} \operatorname{area}\Big( Q(p,q)\Big) \;.
\]
Stimiamo $N(r)$ per eccesso e per difetto sfruttando proprio l’area.
Osserviamo che i centri dei quadrati del tipo $Q(p,q)$ che sono contenuti in $D_r$ appartengono al più ad un cerchio $D_(r_1)$ concentrico a $D_r$ di raggio $r_1 = r - sqrt(2)$; ed analogamente i centri dei quadrati del tipo $Q(p,q)$ che hanno punti in comune con $D_r$ appartengono al più ad un cerchio $D_(r_2)$ concentrico a $D_r$ e di raggio $r_2 = r + sqrt(2)$.
Conseguentemente:
\[
\begin{split}
\operatorname{area}(D_{r_1}) &\leq \sum_{Q(p,q) \subseteq D_r} \operatorname{area}\Big( Q(p,q)\Big) \\
&\leq \sum_{(p,q) \in D_r} \operatorname{area}\Big( Q(p,q)\Big) \\
&= N(r) \\
&\leq \sum_{Q(p,q) \cap D_r \neq \varnothing} \operatorname{area}\Big( Q(p,q)\Big) \\
&\leq \operatorname{area}(D_{r_2})
\end{split}
\]
da cui:
\[
\pi (r - \sqrt{2})^2 \leq N(r) \leq \pi (r + \sqrt{2})^2 \quad \Rightarrow\quad \pi \frac{(r - \sqrt{2})^2}{r^2} \leq \frac{N(r)}{r^2} \leq \pi \frac{(r + \sqrt{2})^2}{r^2}
\]
che fornisce la 1). Inoltre, dalla prima delle precedenti si trae:
\[
\pi (2 - 2\sqrt{2} r) \leq N(r) - \pi r^2 \leq \pi (2 + 2\sqrt{2} r) \quad \Rightarrow \quad 0 \leq |N(r) - \pi r^2 | \leq \pi (2 + 2\sqrt{2} r)
\]
che però è più lasca della 2).
Consideriamo i quadrati di lato unitario centrati nei punti a coordinate intere, i.e. gli insiemi del tipo:
\[
Q(p,q) = \{ (x,y) :\ |x - p|, |y - q| \leq 1/2 \}
\]
con $(p,q) in ZZ^2$. Chiaramente, $N(r)$ coincide col numero di quadrati $Q(p,q)$ aventi centro $(p,q) in D_r$ e, poiché i quadrati hanno area unitaria, $N(r)$ coincide anche con l’area del plurirettangolo ottenuto unendo i vari $Q(p,q)$ aventi centro in $D_r$:
\[
N(r) = \sum_{(p,q) \in D_r} \operatorname{area}\Big( Q(p,q)\Big) \;.
\]
Stimiamo $N(r)$ per eccesso e per difetto sfruttando proprio l’area.
Osserviamo che i centri dei quadrati del tipo $Q(p,q)$ che sono contenuti in $D_r$ appartengono al più ad un cerchio $D_(r_1)$ concentrico a $D_r$ di raggio $r_1 = r - sqrt(2)$; ed analogamente i centri dei quadrati del tipo $Q(p,q)$ che hanno punti in comune con $D_r$ appartengono al più ad un cerchio $D_(r_2)$ concentrico a $D_r$ e di raggio $r_2 = r + sqrt(2)$.
Conseguentemente:
\[
\begin{split}
\operatorname{area}(D_{r_1}) &\leq \sum_{Q(p,q) \subseteq D_r} \operatorname{area}\Big( Q(p,q)\Big) \\
&\leq \sum_{(p,q) \in D_r} \operatorname{area}\Big( Q(p,q)\Big) \\
&= N(r) \\
&\leq \sum_{Q(p,q) \cap D_r \neq \varnothing} \operatorname{area}\Big( Q(p,q)\Big) \\
&\leq \operatorname{area}(D_{r_2})
\end{split}
\]
da cui:
\[
\pi (r - \sqrt{2})^2 \leq N(r) \leq \pi (r + \sqrt{2})^2 \quad \Rightarrow\quad \pi \frac{(r - \sqrt{2})^2}{r^2} \leq \frac{N(r)}{r^2} \leq \pi \frac{(r + \sqrt{2})^2}{r^2}
\]
che fornisce la 1). Inoltre, dalla prima delle precedenti si trae:
\[
\pi (2 - 2\sqrt{2} r) \leq N(r) - \pi r^2 \leq \pi (2 + 2\sqrt{2} r) \quad \Rightarrow \quad 0 \leq |N(r) - \pi r^2 | \leq \pi (2 + 2\sqrt{2} r)
\]
che però è più lasca della 2).
Ok Anto, adesso ho capito come hai ricavato la formula e penso che sia corretta. Mi piace perché è una idea originale tua (mentre io e Gugo stiamo proponendo l'idea solita, che si trova sui libri, perché già la sapevamo...).
Rimane comunque da dimostrare che
\[\tag{*}
\lim_{r\to \infty} \sum_{k=1}^{[r]} \frac1r\sqrt{1-\left(\frac{k}{r}\right)^2} = \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\, dx, \]
che poi è la parte analitica della dimostrazione. Sono sicuro che (*) sia vero.
Rimane comunque da dimostrare che
\[\tag{*}
\lim_{r\to \infty} \sum_{k=1}^{[r]} \frac1r\sqrt{1-\left(\frac{k}{r}\right)^2} = \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\, dx, \]
che poi è la parte analitica della dimostrazione. Sono sicuro che (*) sia vero.
Bene, anche a me - adesso- sfugge solo quel passaggio
"dissonance":
Rimane comunque da dimostrare che
\[\tag{*}
\lim_{r\to \infty} \sum_{k=1}^{[r]} \frac1r\sqrt{1-\left(\frac{k}{r}\right)^2} = \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\, dx, \]
Nessuno ci ha provato? Non dovrebbe essere difficile. Si tratta di dimostrare che
\[
\lim_{r\to \infty} \sum_{k=1}^{[r]} \left(\frac1r\sqrt{1-\left(\frac{k}{r}\right)^2} -\frac1{[r]}\sqrt{1-\left(\frac{k}{[r]}\right)^2}\right)=0.\]
Se chiamiamo, per ogni $r \ge 1$ e $k \in \mathbb{N}$,
\[ f_r(k):= \frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 } - \frac{1}{[r]} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{[r]} \biggr )^2 } \]
allora possiamo riscrivere il limite di dissonance come
\[ \lim_{r \to + \infty} \int_{\mathbb{N}} f_r(k) \chi_{\{1, \dots, [r] \} }(k) \text{d} \mu_c(k ) \]
dove $\mu_c$ è la misura del conteggio.
Sicuramente abbiamo, per ogni $k \in \mathbb{N}$ e $r \ge 1$, che
\[\small \underbrace{\frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 } - \frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r+1} \biggr )^2 }}_{=:g_r(k)} \le f_r(k) \le \underbrace{\frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 } - \frac{1}{r+1} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 }}_{=:h_r(k)} \]
e chiaramente
\[ \lim_{ r \to + \infty} g_r(k) = \lim_{r \to + \infty} h_r(k) =0 \]
per ogni $k \in \mathbb{N}$, da cui
\[ \lim_{r \to + \infty} f_r(k) =0 \]
per ogni $k \in \mathbb{N}$.
Ora sarebbe carino far entrare quel limite dentro l'integrale, ma non mi viene in mente un modo in questo momento...
\[ f_r(k):= \frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 } - \frac{1}{[r]} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{[r]} \biggr )^2 } \]
allora possiamo riscrivere il limite di dissonance come
\[ \lim_{r \to + \infty} \int_{\mathbb{N}} f_r(k) \chi_{\{1, \dots, [r] \} }(k) \text{d} \mu_c(k ) \]
dove $\mu_c$ è la misura del conteggio.
Sicuramente abbiamo, per ogni $k \in \mathbb{N}$ e $r \ge 1$, che
\[\small \underbrace{\frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 } - \frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r+1} \biggr )^2 }}_{=:g_r(k)} \le f_r(k) \le \underbrace{\frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 } - \frac{1}{r+1} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 }}_{=:h_r(k)} \]
e chiaramente
\[ \lim_{ r \to + \infty} g_r(k) = \lim_{r \to + \infty} h_r(k) =0 \]
per ogni $k \in \mathbb{N}$, da cui
\[ \lim_{r \to + \infty} f_r(k) =0 \]
per ogni $k \in \mathbb{N}$.
Ora sarebbe carino far entrare quel limite dentro l'integrale, ma non mi viene in mente un modo in questo momento...
Per fare entrare i limiti dentro gli integrali (!) i metodi sono due: convergenza monotona o convergenza dominata.
Monotona non se ne fa nulla perché se $r \in \mathbb{N}$ si ha $f_r(k)=0$ per ogni $k \in \mathbb{N}$. Convergenza dominata mi pare pure non si riesca. Perché dici
?
"dissonance":
[...] integrali (!) [...]
?
"Bremen000":
Monotona non se ne fa nulla perché se $r \in \mathbb{N}$ si ha $f_r(k)=0$ per ogni $k \in \mathbb{N}$. Convergenza dominata mi pare pure non si riesca. Perché dici
[quote="dissonance"][...] integrali (!) [...]
?[/quote]
Mi riferivo a "fare entrare i limiti dentro"
diciamo che non è proprio linguaggio dei più puri. In italiano è proprio sbagliato, ora che ci penso: "entra dentro, esci fuori", sono errori.
Ahhhhh, ho capito! Anche se da Firenze mi dicono si possa.
In ogni caso, come portiamo il limite dentro quell'integrale?
In ogni caso, come portiamo il limite dentro quell'integrale?
*Deve* essere facile. La stima superiore, per esempio, viene subito da qui:
\[
\sum_{k=1}^{[r]} h_k(r)=\frac{1}{r+1}\left(\frac1r\sum_1^{[r]} \sqrt{1- \frac{k^2}{r^2}}\right)\le\frac{2}{1+r},\]
e ci ho messo un \(2\) per sicurezza, ma probabilmente va bene pure un \(1\), sto solo stimando brutalmente ogni addendo con \(1\). La stima inferiore sarà sicuramente conseguenza di qualche altro ragionamento facile di questo tipo.
\[
\sum_{k=1}^{[r]} h_k(r)=\frac{1}{r+1}\left(\frac1r\sum_1^{[r]} \sqrt{1- \frac{k^2}{r^2}}\right)\le\frac{2}{1+r},\]
e ci ho messo un \(2\) per sicurezza, ma probabilmente va bene pure un \(1\), sto solo stimando brutalmente ogni addendo con \(1\). La stima inferiore sarà sicuramente conseguenza di qualche altro ragionamento facile di questo tipo.
Ahhhh hai ragione! Che scemo, pensavo a cose strane mentre è evidente che si possono fare delle stime normalissime. Oltretutto quello che ho scritto nel post precedente è sbagliato, quello che è vero è che, posto
\[ f_r(k):= \frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 } - \frac{1}{[r]} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{[r]} \biggr )^2 } \quad \quad r>1 \, , \, k \in \mathbb{N}\]
si ha
\[\small \underbrace{\frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 } - \frac{1}{r-1} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 }}_{=:g_r(k)} \le f_r(k) \le \underbrace{\frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 } - \frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r-1} \biggr )^2 }}_{=:h_r(k)} \quad \quad r>1 \, , \, k \in \mathbb{N} \]
e quindi basta far vedere che
\[ \lim_{r \to + \infty} \sum_{k=1}^{[r]} g_r(k) = \lim_{r \to + \infty} \sum_{k=1}^{[r]} h_r(k) =0 \]
ma questo segue immediatamente dalle due stime
\[ 0 \le \sum_{k=1}^{[r]} h_r(k) \le \frac{ 2r-1}{r^3 (r-1)} \Biggl [ \frac{[r]-1}{ \sqrt{ 1-\biggl ( \frac{[r]-1}{r} \biggr )^2}} + \frac{1}{\sqrt{ 1-\biggl ( \frac{[r]}{r} \biggr )^2}+ \sqrt{ 1-\biggl ( \frac{[r]}{r-1} \biggr )^2}} \Biggr ] \overset{r \to + \infty}{\longrightarrow} 0\]
e \[ 0 \overset{ r \to + \infty}{\longleftarrow} -\frac{1}{r(r-1)} \Biggr [ ([r]-1) \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{[r]-1}{r} \biggr )^2 }+ \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{[r]}{r} \biggr )^2 } \Biggr ] \le \sum_{k=1}^{[r]} g_r(k) \le 0 \]
che non saranno belle ma funzionano.
\[ f_r(k):= \frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 } - \frac{1}{[r]} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{[r]} \biggr )^2 } \quad \quad r>1 \, , \, k \in \mathbb{N}\]
si ha
\[\small \underbrace{\frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 } - \frac{1}{r-1} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 }}_{=:g_r(k)} \le f_r(k) \le \underbrace{\frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 } - \frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r-1} \biggr )^2 }}_{=:h_r(k)} \quad \quad r>1 \, , \, k \in \mathbb{N} \]
e quindi basta far vedere che
\[ \lim_{r \to + \infty} \sum_{k=1}^{[r]} g_r(k) = \lim_{r \to + \infty} \sum_{k=1}^{[r]} h_r(k) =0 \]
ma questo segue immediatamente dalle due stime
\[ 0 \le \sum_{k=1}^{[r]} h_r(k) \le \frac{ 2r-1}{r^3 (r-1)} \Biggl [ \frac{[r]-1}{ \sqrt{ 1-\biggl ( \frac{[r]-1}{r} \biggr )^2}} + \frac{1}{\sqrt{ 1-\biggl ( \frac{[r]}{r} \biggr )^2}+ \sqrt{ 1-\biggl ( \frac{[r]}{r-1} \biggr )^2}} \Biggr ] \overset{r \to + \infty}{\longrightarrow} 0\]
e \[ 0 \overset{ r \to + \infty}{\longleftarrow} -\frac{1}{r(r-1)} \Biggr [ ([r]-1) \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{[r]-1}{r} \biggr )^2 }+ \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{[r]}{r} \biggr )^2 } \Biggr ] \le \sum_{k=1}^{[r]} g_r(k) \le 0 \]
che non saranno belle ma funzionano.
Riesumo questo post. Mi è venuta forse una mezza idea su come calcolare quel limite.
\[
\lim_{r\to+\infty} \frac{\sum_{n=1}^{[r]}\sqrt{r^{2}-n^{2}}}{r^{2}}=\lim_{r\to+\infty}\sum_{n=1}^{[r]} \frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{n}{r}\Big)^{2}}
\]
Per le stime del criterio integrale, ho
\[
\lim_{r\to+\infty}\sum_{n=1}^{[r]} \frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{n}{r}\Big)^{2}}= \lim_{r\to+\infty}\int_{1}^{[r]}\frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{[y]}{r}\Big)^{2}}dy
\]
Ma da $y-1\le [y]\le y$ ricavo anche
\[
\int_{1}^{[r]}\frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{y}{r}\Big)^{2}}dy\le \int_{1}^{[r]}\frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{[y]}{r}\Big)^{2}}dy\le \int_{1}^{[r]}\frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{y-1}{r}\Big)^{2}}dy
\]
Cambiando di variabile gli integrali a lato, ottengo
\[
\int_{\frac{1}{[r]}}^{1}\sqrt{1-t^{2}}dt\le \int_{1}^{[r]}\frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{[y]}{r}\Big)^{2}}dy\le \int_{0}^{1-\frac{1}{[r]}}\sqrt{1-t^{2}}dt
\]
Mandando ora $r\to +\infty$ si perviene all'identità
\[
\lim_{r\to +\infty} \int_{1}^{[r]}\frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{[y]}{r}\Big)^{2}}dy=\int_{0}^{1}\sqrt{1-t^{2}}dt=\frac{\pi}{4}
\]
Che ne dite?
Edit : solo ora noto che c'è anche una seconda pagina ahah
\[
\lim_{r\to+\infty} \frac{\sum_{n=1}^{[r]}\sqrt{r^{2}-n^{2}}}{r^{2}}=\lim_{r\to+\infty}\sum_{n=1}^{[r]} \frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{n}{r}\Big)^{2}}
\]
Per le stime del criterio integrale, ho
\[
\lim_{r\to+\infty}\sum_{n=1}^{[r]} \frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{n}{r}\Big)^{2}}= \lim_{r\to+\infty}\int_{1}^{[r]}\frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{[y]}{r}\Big)^{2}}dy
\]
Ma da $y-1\le [y]\le y$ ricavo anche
\[
\int_{1}^{[r]}\frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{y}{r}\Big)^{2}}dy\le \int_{1}^{[r]}\frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{[y]}{r}\Big)^{2}}dy\le \int_{1}^{[r]}\frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{y-1}{r}\Big)^{2}}dy
\]
Cambiando di variabile gli integrali a lato, ottengo
\[
\int_{\frac{1}{[r]}}^{1}\sqrt{1-t^{2}}dt\le \int_{1}^{[r]}\frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{[y]}{r}\Big)^{2}}dy\le \int_{0}^{1-\frac{1}{[r]}}\sqrt{1-t^{2}}dt
\]
Mandando ora $r\to +\infty$ si perviene all'identità
\[
\lim_{r\to +\infty} \int_{1}^{[r]}\frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{[y]}{r}\Big)^{2}}dy=\int_{0}^{1}\sqrt{1-t^{2}}dt=\frac{\pi}{4}
\]
Che ne dite?
Edit : solo ora noto che c'è anche una seconda pagina ahah
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