Punti estremanti f(x,y) vincolata ad un cerchio unitario
Devo studiare i punti estremanti della seguente
$f(x,y) = 3x^2-2y^2-sqrt(x^2+y^2) $ limitata alla regione $ T: {x^2+y^2<=1) $
Ho cominciato subito con il calcolo del gradiente, ho visto che le due derivate parziali non sono definite nell'origine,e che quest'ultime si annullano lungo tutti i punti di frontiera della circonferenza, dato che (togliendo il denominatore delle derivate parziali) ottengo:
rispetto a x: $x^2(36x^2+36y^2-1) = 0$ e $ y^2(16y^2+16x^2-1) = $
oltre che in $(0,0) $ (in cui la derivata non esiste) secondo me non si annullano, ma wolfram becca fuori un'altra soluzione che è $(1/6,0) $ che guarda caso cade all'interno del cerchio. Io non sono riuscito a trovarla.
Per cercare i punti sulla frontiera adesso, o parametrizzo la circonferenza oppure utilizzo i moltiplicatori di Lagrange.
In altri libri di testo ho visto ricavarsi una delle due variabili dalla restrizione ad esempio in questo caso ho fatto:
$x^2 = 1 - y^2 $ ho sostiuito nella mia $f(x,y)$ e ottengo $f(x,y) = 2 - 5y^2 $ essendo ad una sola variabile, calcolando la derivata ottengo due punti stazionari, $P1 = (1;0) e P2 = (-1,0)$ in cui la $f(x,y) = 2$
Non potendo stabilire la natura di questi due punti (o posso?!) ho provato a parametrizzare la circonferenza,
ponendo $x = cos(t), y=sin(t)$,ottengo, $f(t) = 3cos^2(t)-2sin^2(t) -1 = -5sin^2(t)+2$
la cui derivata è $f'(t) = -5sin(2x)$,
ponendola uguale a zero ottengo i due punti stazionari di prima piu' altri due punti ossia $P3 =(0,1), P4=(0,-1)$ in cui la $f(x,y) = -3$.
Questi due punti li potevo definire anche con l'altro metodo esplicitandomi la y al posto della x?
Visto che la funzione nell'origine è definita ma le derivate parziali non esistono, un punto estremante potrebbe anche essere l'origine, in cui la funzione è nulla, ma visto che ho valori negativi lo escluderei.
Quindi concluderei dicendo che i punti di minimo all'interno della regione T sono $P3 e P4$ mentre $P1 e $P2$ quelli di massimo.
Sbaglio qualcosa? Non ho modo di verificare i risultati purtroppo.
$f(x,y) = 3x^2-2y^2-sqrt(x^2+y^2) $ limitata alla regione $ T: {x^2+y^2<=1) $
Ho cominciato subito con il calcolo del gradiente, ho visto che le due derivate parziali non sono definite nell'origine,e che quest'ultime si annullano lungo tutti i punti di frontiera della circonferenza, dato che (togliendo il denominatore delle derivate parziali) ottengo:
rispetto a x: $x^2(36x^2+36y^2-1) = 0$ e $ y^2(16y^2+16x^2-1) = $
oltre che in $(0,0) $ (in cui la derivata non esiste) secondo me non si annullano, ma wolfram becca fuori un'altra soluzione che è $(1/6,0) $ che guarda caso cade all'interno del cerchio. Io non sono riuscito a trovarla.
Per cercare i punti sulla frontiera adesso, o parametrizzo la circonferenza oppure utilizzo i moltiplicatori di Lagrange.
In altri libri di testo ho visto ricavarsi una delle due variabili dalla restrizione ad esempio in questo caso ho fatto:
$x^2 = 1 - y^2 $ ho sostiuito nella mia $f(x,y)$ e ottengo $f(x,y) = 2 - 5y^2 $ essendo ad una sola variabile, calcolando la derivata ottengo due punti stazionari, $P1 = (1;0) e P2 = (-1,0)$ in cui la $f(x,y) = 2$
Non potendo stabilire la natura di questi due punti (o posso?!) ho provato a parametrizzare la circonferenza,
ponendo $x = cos(t), y=sin(t)$,ottengo, $f(t) = 3cos^2(t)-2sin^2(t) -1 = -5sin^2(t)+2$
la cui derivata è $f'(t) = -5sin(2x)$,
ponendola uguale a zero ottengo i due punti stazionari di prima piu' altri due punti ossia $P3 =(0,1), P4=(0,-1)$ in cui la $f(x,y) = -3$.
Questi due punti li potevo definire anche con l'altro metodo esplicitandomi la y al posto della x?
Visto che la funzione nell'origine è definita ma le derivate parziali non esistono, un punto estremante potrebbe anche essere l'origine, in cui la funzione è nulla, ma visto che ho valori negativi lo escluderei.
Quindi concluderei dicendo che i punti di minimo all'interno della regione T sono $P3 e P4$ mentre $P1 e $P2$ quelli di massimo.
Sbaglio qualcosa? Non ho modo di verificare i risultati purtroppo.
Risposte
$(\partialf)/(\partial x)=6x-x/(\sqrt(x^2+y^2))=x(6-1/(\rho))$
$(\partialf)/(\partial y)=-4y-y/(\sqrt(x^2+y^2))=y(-4-1/(\rho))$
Il punto $(1/6,0)$ in effetti annulla le derivate.
Nell'origine va studiata attentamente perchè la funzione è definita e sembra che ci sia un max.
I punti sulla circonferenza potevano essere studiati anche con $f(y)=2-5y^2$ tenendo conto che la funzione è simmetrica rispetto agli assi x e y, quindi (studiandola in un solo quadrante) se si trova un estremo su un asse, è anche un estremo sulla circonferenza.
$(\partialf)/(\partial y)=-4y-y/(\sqrt(x^2+y^2))=y(-4-1/(\rho))$
Il punto $(1/6,0)$ in effetti annulla le derivate.
Nell'origine va studiata attentamente perchè la funzione è definita e sembra che ci sia un max.
I punti sulla circonferenza potevano essere studiati anche con $f(y)=2-5y^2$ tenendo conto che la funzione è simmetrica rispetto agli assi x e y, quindi (studiandola in un solo quadrante) se si trova un estremo su un asse, è anche un estremo sulla circonferenza.
Come faccio a vedere che si annulla in $(1/6;0)$ ? Se faccio la sostituzione con $rho = sqrt(x^2+y^2) $ cosa dovrei verificare poi? Risolvendola mi trovo $ rho = 1/6$ ma non mi va bene per la seconda equazione però, o meglio non so completamente come muovermi...
EDIT: Trovato.
Riguardo l'origine, in cui la funzione è nulla poichè $f(0,0) = 0 $ posso in un certo senso "fregarmene" visto che ho trovato valori negativi e sia positivi no?
EDIT: Trovato.
Riguardo l'origine, in cui la funzione è nulla poichè $f(0,0) = 0 $ posso in un certo senso "fregarmene" visto che ho trovato valori negativi e sia positivi no?
"damianoct90":
Riguardo l'origine, in cui la funzione è nulla poichè $f(0,0) = 0 $ posso in un certo senso "fregarmene" visto che ho trovato valori negativi e sia positivi no?
In che senso puoi fregartene ?
L'origine è un massimo e dovresti dimostrarlo.
Come fai ad aver trovato valori positivi e negativi ?
Nella frontiera nei punti $P2 = (1,0) $ e $ P3 = (-1,0)$ la $f(x,y) = 2$ in altri punti è addirittura negativa, mentre nell'origine è nulla..
"Quinzio":
L'origine è un massimo e dovresti dimostrarlo.
Ciao Q,
non sono d'accordo, per me l'origine non è nè un massimo nè un minimo.
"Quinzio":
Come fai ad aver trovato valori positivi e negativi ?
$f(1;0)=3-1=+2$
$f(0;1)=-2-1=-3$
"damianoct90":
Nella frontiera nei punti $P2 = (1,0) $ e $ P3 = (-1,0)$ la $f(x,y) = 2$ in altri punti è addirittura negativa, mentre nell'origine è nulla..
Si, però non hai compreso a fondo una questione fondamentale. Quando si parla di estremi, è sufficiente trovare una zona attorno al punto (il famoso "intorno") che può essere piccola a piacere.
Cioè io mi potrei divertire quanto voglio a rimpicciolire la regione dove vado a cercare l'estremo. Poco mi importa della circonferenza di r=1.
Effettivamente non ci avevo mai pensato, allora dato che è nulla mi occorre studiare il segno della $f(x,y) $ ma nella forma in cui è non mi è agevole, credi che l'Hessiano possa essermi d'aiuto? Direi di no perchè le derivate non sono definite quindi dovrei studiarmi il segno.
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