Punti di singolarità e residui
Salve a tutti ragazzi 
sono un nuovo utente e quindi poco pratico del forum;chiedo scusa in anticipo se ho sbagliato qualcosa.
Tornando a noi! Sono uno studente di Ingegneria Elettronica e sto affrontando il corso di Metodo Matematici per l Ingegneria( analisi 3).Premetto che ho iniziato a svolgere esercizi da poco e mi rendo conto di non aver preso ancora la mano.
L'esercizio che mi viene proposto è il seguente:
Calcolare le singolarità,classificare e determinare i relativi residui della funzione complessa
$ f(z)=(z-1)*(e^(1/(z-1))+1/z) $
dopo trovare la serie di Laurent centrata in $ z0=1 $ e convergente per $ 0<|z-1|<1 $
Ragionando su i due addendi, io ho iniziato nello sviluppare in serie di Taylor l esponenziale e osservo che il punto singolare dove la funzione non è olomorfa quindi $z=1$ è una singolarità di tipo essenziale(infiniti termini esponenziali negativi),l' altro punto di singolarità è lo 0,che però è un polo semplice,in quanto non "compensa" in alcun modo il numeratore del secondo addendo.Ora però qui mi blocco.Come posso trovare i residui con la successiva serie di Laurent?
Ringrazio anticipatamente tutti
PS=Esercizi,possibilmente d'esame, sullo studio delle singolarità e residui ben svolti o spiegati dove posso trovarli?
sono un nuovo utente e quindi poco pratico del forum;chiedo scusa in anticipo se ho sbagliato qualcosa.
Tornando a noi! Sono uno studente di Ingegneria Elettronica e sto affrontando il corso di Metodo Matematici per l Ingegneria( analisi 3).Premetto che ho iniziato a svolgere esercizi da poco e mi rendo conto di non aver preso ancora la mano.
L'esercizio che mi viene proposto è il seguente:
Calcolare le singolarità,classificare e determinare i relativi residui della funzione complessa
$ f(z)=(z-1)*(e^(1/(z-1))+1/z) $
dopo trovare la serie di Laurent centrata in $ z0=1 $ e convergente per $ 0<|z-1|<1 $
Ragionando su i due addendi, io ho iniziato nello sviluppare in serie di Taylor l esponenziale e osservo che il punto singolare dove la funzione non è olomorfa quindi $z=1$ è una singolarità di tipo essenziale(infiniti termini esponenziali negativi),l' altro punto di singolarità è lo 0,che però è un polo semplice,in quanto non "compensa" in alcun modo il numeratore del secondo addendo.Ora però qui mi blocco.Come posso trovare i residui con la successiva serie di Laurent?
Ringrazio anticipatamente tutti
PS=Esercizi,possibilmente d'esame, sullo studio delle singolarità e residui ben svolti o spiegati dove posso trovarli?
Risposte
Nessuno può aiutarmi? Ho scritto il messaggio in una maniera poco corretta per caso?????
Allora ti dico che ci sono 2 modi per trovare i residui di una funzione :
1) dopo aver definito la serie di Lurent nell'intorno del punto di singolarità della funzione (cosa non sempre troppo semplice) basta prendere il primo coefficiente negativo della serie trovata "a(-1)"
2) dopo aver classificato i punti di singolarità a seconda dei casi avrai:
-residuo per una singolarità eliminabile in z0 :
$Res(f,z0)=0$
questo banalmente perchè la serie di Laurent ha solo termini positivi
-residuo per un polo di ordine p in z0:
>se p=1:
$ Res(f,z0)= lim_(z -> z0) [f(z)*(z-z0)] $
>se p>1
$ Res(f,z0)= (frac{1}{(p-1)!})* lim_(z -> z0) {(frac{d}{dz})^(p-1)*[f(z)*(z-z0)^p]} $
-residuo per una singolarità di tipo essenziabile:
purtroppo in questo caso bisogna calcolare per forza la serie di Laurent
Non so se sono stato di aiuto, se la risposta non è inerente alla domanda che hai fatto prova a scriverla in modo diverso cosi vedo se riesco a capire quale punto volevi sollevare
1) dopo aver definito la serie di Lurent nell'intorno del punto di singolarità della funzione (cosa non sempre troppo semplice) basta prendere il primo coefficiente negativo della serie trovata "a(-1)"
2) dopo aver classificato i punti di singolarità a seconda dei casi avrai:
-residuo per una singolarità eliminabile in z0 :
$Res(f,z0)=0$
questo banalmente perchè la serie di Laurent ha solo termini positivi
-residuo per un polo di ordine p in z0:
>se p=1:
$ Res(f,z0)= lim_(z -> z0) [f(z)*(z-z0)] $
>se p>1
$ Res(f,z0)= (frac{1}{(p-1)!})* lim_(z -> z0) {(frac{d}{dz})^(p-1)*[f(z)*(z-z0)^p]} $
-residuo per una singolarità di tipo essenziabile:
purtroppo in questo caso bisogna calcolare per forza la serie di Laurent
Non so se sono stato di aiuto, se la risposta non è inerente alla domanda che hai fatto prova a scriverla in modo diverso cosi vedo se riesco a capire quale punto volevi sollevare
Ciao Daniele.
Ti ringrazio per la risposta e mi scuso per il ritardo.Comunque si quello che hai scritto in un certo senso lo so dalla teoria.Quello che diciamo mi riesce difficile è "applicarla". Sperando di non aver sbagliato ragionamento,io nell'esercizio ho osservato i punti dove la funzione non è analitica.Quindi l origine e il punto '1'.Classificandoli,mi viene da dire che l origine è sicuramente un polo,visto in un certo senso non "coinvolge" il numeratore,mentre il punto z=1 è di tipo essenziale(sviluppando il termine esponenziale ho infiniti termini negativi).Da quello che hai scritto tu,io ora dovrei trovare la serie di Laurent di tutta la funzione per i residui(cosi comunque una parte dell'esercizio viene svolto) giusto? Ma qui non riesco.Tu come avresti svolto questa traccia d'esame?
Ti ringrazio per la risposta e mi scuso per il ritardo.Comunque si quello che hai scritto in un certo senso lo so dalla teoria.Quello che diciamo mi riesce difficile è "applicarla". Sperando di non aver sbagliato ragionamento,io nell'esercizio ho osservato i punti dove la funzione non è analitica.Quindi l origine e il punto '1'.Classificandoli,mi viene da dire che l origine è sicuramente un polo,visto in un certo senso non "coinvolge" il numeratore,mentre il punto z=1 è di tipo essenziale(sviluppando il termine esponenziale ho infiniti termini negativi).Da quello che hai scritto tu,io ora dovrei trovare la serie di Laurent di tutta la funzione per i residui(cosi comunque una parte dell'esercizio viene svolto) giusto? Ma qui non riesco.Tu come avresti svolto questa traccia d'esame?
Le singolarità al finito sono studiate bene. 
Inoltre, trovare la serie di Laurent centrata in $1$ è molto semplice e si fa in due minuti.
Infatti, dato che:
\[
\begin{split}
e^y &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ y^n\\
\frac{1}{1+y} &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\ y^n
\end{split}
\]
come sai da Analisi II, hai:
\[
\begin{split}
e^\frac{1}{z-1} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ \frac{1}{(z-1)^n}\\
\frac{1}{z} &= \frac{1}{1+(z-1)}\\
&=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\ (z-1)^n
\end{split}
\]
onde per cui:
\[
\begin{split}
f(z) &= (z-1)\ \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ \frac{1}{(z-1)^n} + \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\ (z-1)^n \right)\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ \frac{1}{(z-1)^{n-1}} + \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\ (z-1)^{n+1}\\
&= \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n!}\ \frac{1}{(z-1)^{n-1}} + 1 + (z-1) + (z-1) + \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\ (z-1)^{n+1}\\
&= \underbrace{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)!}\ \frac{1}{(z-1)^n}}_{\text{parte singolare}} + \underbrace{1 + 2(z-1) + \sum_{n=2}^\infty (-1)^{n-1}\ (z-1)^n}_{\text{parte regolare}}\; .
\end{split}
\]
Da ciò segue che il residuo in $1$ è $1/2$.
P.S.: Per esercizi del genere potresti dare un'occhiata agli esercizi svolti (di Metodi Matematici per l'Ingegneria o di Istituzioni di Analisi) del prof. Luigi Greco dell'Università Federico II.
Inoltre, trovare la serie di Laurent centrata in $1$ è molto semplice e si fa in due minuti.
Infatti, dato che:
\[
\begin{split}
e^y &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ y^n\\
\frac{1}{1+y} &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\ y^n
\end{split}
\]
come sai da Analisi II, hai:
\[
\begin{split}
e^\frac{1}{z-1} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ \frac{1}{(z-1)^n}\\
\frac{1}{z} &= \frac{1}{1+(z-1)}\\
&=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\ (z-1)^n
\end{split}
\]
onde per cui:
\[
\begin{split}
f(z) &= (z-1)\ \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ \frac{1}{(z-1)^n} + \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\ (z-1)^n \right)\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ \frac{1}{(z-1)^{n-1}} + \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\ (z-1)^{n+1}\\
&= \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n!}\ \frac{1}{(z-1)^{n-1}} + 1 + (z-1) + (z-1) + \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\ (z-1)^{n+1}\\
&= \underbrace{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)!}\ \frac{1}{(z-1)^n}}_{\text{parte singolare}} + \underbrace{1 + 2(z-1) + \sum_{n=2}^\infty (-1)^{n-1}\ (z-1)^n}_{\text{parte regolare}}\; .
\end{split}
\]
Da ciò segue che il residuo in $1$ è $1/2$.
P.S.: Per esercizi del genere potresti dare un'occhiata agli esercizi svolti (di Metodi Matematici per l'Ingegneria o di Istituzioni di Analisi) del prof. Luigi Greco dell'Università Federico II.
Grazie mille gugo82,davvero.
Risposta chiara e precisa
Risposta chiara e precisa
Gugo82 scusami.
Ma per la relativa funzione,non manca il residuo per l'altro punto singolare??Ovvero $ Res(f,0) $ , dovuto al termine nel secondo addendo??
Ma per la relativa funzione,non manca il residuo per l'altro punto singolare??Ovvero $ Res(f,0) $ , dovuto al termine nel secondo addendo??
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