Punti di sella?
Ho un dubbio su come classificare i punti critici che non sono nè di massimo nè di minimo.
Prendiamo la seguente funzione
$f(x,y)=(y-x^2-x^3)^3$
Che ha derivate parziali pari a
$f_x(x,y)=-3x(2+3x)(y-x^2-x^3)^2$
$f_y(x,y)=3(y-x^2-y^3)^2$
Ricavo come punti stazionari tutti e soli i punti del tipo $(x,x^3+x^2)$, che sono zeri e quindi non possono essere nè massimi nè minimi relartivi.
Resta il dubbio che siano selle o meno.
Per semplicità sto analizzando solo l'origine.
Trovo diverse restrizioni $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ aventi $(0,0)$ come punto di accumulazione e tali che $f_(|\gamma)(t)$ abbia massimo per $t=0$ (ad esempio $\gamma(t)=(t,t^3)$). Ma non ne trovo nessuna su cui $t=0$ sia un miniml, donde il dubbio.
Potreste aiutarmi?
Prendiamo la seguente funzione
$f(x,y)=(y-x^2-x^3)^3$
Che ha derivate parziali pari a
$f_x(x,y)=-3x(2+3x)(y-x^2-x^3)^2$
$f_y(x,y)=3(y-x^2-y^3)^2$
Ricavo come punti stazionari tutti e soli i punti del tipo $(x,x^3+x^2)$, che sono zeri e quindi non possono essere nè massimi nè minimi relartivi.
Resta il dubbio che siano selle o meno.
Per semplicità sto analizzando solo l'origine.
Trovo diverse restrizioni $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ aventi $(0,0)$ come punto di accumulazione e tali che $f_(|\gamma)(t)$ abbia massimo per $t=0$ (ad esempio $\gamma(t)=(t,t^3)$). Ma non ne trovo nessuna su cui $t=0$ sia un miniml, donde il dubbio.
Potreste aiutarmi?
Risposte
Grazie per la risposta.L'affermazione che hai citato era relativa al mio caso: la funzione "attorno" agli zeri assume valori di segno opposto e quindi tali punti non possono essere nè massimi nè minimi
Per me $(x_0,y_0)$ è un punto di sella se e solo se esistono due curve $\gamma_1$ e $\gamma_2$ (del piano $xy$) per cui $(x_0,y_0)=\gamma_1(t_0)=\gamma_2(t_0)$ e $t_0$ è punto di minimo per $f_(|\gamma_1)$ e massimo per $f_(|\gamma_2)$
Il problema è che non riesco a trovare restrizioni su cui l'eventuale $t_0$ sia un punto di minimo. Andrei per assurdo ma non so come partire ...
Per me $(x_0,y_0)$ è un punto di sella se e solo se esistono due curve $\gamma_1$ e $\gamma_2$ (del piano $xy$) per cui $(x_0,y_0)=\gamma_1(t_0)=\gamma_2(t_0)$ e $t_0$ è punto di minimo per $f_(|\gamma_1)$ e massimo per $f_(|\gamma_2)$
Il problema è che non riesco a trovare restrizioni su cui l'eventuale $t_0$ sia un punto di minimo. Andrei per assurdo ma non so come partire ...
Giusto non ci avevo pensato, grazie! Sapresti indicarmi(/linkarmi) una funzione con un punto critico nè di sella nè di massimo nè di minimo?
A mio parere una difficoltà non trascurabile nel lavorare con le "selle" è che ci sono tante definizioni in circolazione, e tra queste parecchie sono diverse tra loro.
Per esempio, in riferimento a quella ricordata da Cantor99(*), le cose cambiano se si impone la condizione "max/min" su rette anziché su generiche curve, vedasi i commenti di arnett.
Correlato con quanto appena detto, osservo che a mio parere la definizione di Cantor99 NON è accettabile. Secondo me è importante aggiungere la condizione che queste due curve nel punto incriminato abbiano rette tangenti distinte(**)
In ogni caso, un esempio di funzione che ha un punto né max, né min, né sella (per una qualsiasi definizione ragionevole(***) di sella, imho) è:
$f(x,y) = x^3$
Insomma, una banale flesso "esportato" in modo scemo da $RR$ a $RR^2$.
Di sicuro è una sella scomoda, se la si vuole usare a cavallo: si scivola troppo.
(*) NB: bisognerebbe dire con precisione cosa si intende per "curva"
(**) Sennò il mio esempio non funziona LOL
(***) Nella mia breve vita ho anche visto definire punto di sella come un punto che non è é di max né di min!
Per esempio, in riferimento a quella ricordata da Cantor99(*), le cose cambiano se si impone la condizione "max/min" su rette anziché su generiche curve, vedasi i commenti di arnett.
Correlato con quanto appena detto, osservo che a mio parere la definizione di Cantor99 NON è accettabile. Secondo me è importante aggiungere la condizione che queste due curve nel punto incriminato abbiano rette tangenti distinte(**)
In ogni caso, un esempio di funzione che ha un punto né max, né min, né sella (per una qualsiasi definizione ragionevole(***) di sella, imho) è:
$f(x,y) = x^3$
Insomma, una banale flesso "esportato" in modo scemo da $RR$ a $RR^2$.
Di sicuro è una sella scomoda, se la si vuole usare a cavallo: si scivola troppo.
(*) NB: bisognerebbe dire con precisione cosa si intende per "curva"
(**) Sennò il mio esempio non funziona LOL
(***) Nella mia breve vita ho anche visto definire punto di sella come un punto che non è é di max né di min!
Aggiungo che Fioravante è sicuramente il massimo esperto mondiale di questo argomento, essendo un maestro sia della matematica sia dell'allevamento dei cavalli.
Perdonate ma sono stato molto distratto. Per me $x\in A$ è un punto di sella per $f :A \subset \RR^2 ->\RR$ se esistono $\lambda_1,\lambda_2$ distinti tali che $t->f(x+t\lambda_1)$ presenta un minimo per $t=0$ e $t->f(x+t\lambda_2)$ un massimo per $t=0$. Quello delle due curve penso sia una mia invenzione 
(per me una curva è un'applicazione di $\RR$ in $\RR^2$)
Quindi con questa mia definizione, nel mio esercizio, l'origine non è più una sella?
(per me una curva è un'applicazione di $\RR$ in $\RR^2$)Quindi con questa mia definizione, nel mio esercizio, l'origine non è più una sella?
Sisi sono vettori. Non so perché ma ho fatto spesso uso di quella strana definizione e infatti, ora che ci penso, alcune cose non mi tornavano. Siete stati illuminanti, grazie a tutti
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