Punti di non derivabilità e concetto di differenziale.....

[Skorpjone]

allora, raga ho altri due problemini.....uno riguarda la ricerca dei punti di non derivabilità di $f(x)=logx+1$ in valore assoluto......(non riesco a capire perchè il risultato mi dia x=e-1 come punto angoloso......e piu che altro come determino e arrivo a questo valore)...
e poi non capisco come facendo uso del concetto di differenziale possa calcolare il valore approssimato di espressioni tipo $sqrt(65)$ o $arcotg(0,98)$

[jack110]

hai $y=|lnx +1|$, il dominio della funzione è ovviamente $x>0$ ; a questo punto la funzione vale:
$lnx +1$ per $lnx+1>=0$ cioè$lnx>=-1$ ovvero $x>=1/e$; per cui la funzione vale
$-lnx-1$ per $0<=x<=1/e$; detto questo fai la derivata di y:
essa vale per $x>=1/e$ $y'=1/x$ e per $0<=x<1/e$ $y'=-1/x$; adesso nel punto $x=1/e$ la derivata destra e sinistra non coincidono: infatti
$y'^+=1/(1/e)=e$ e $y'^(-)=-1/(1/e)=-e$, pertanto è nel punto $x=1/e$ che si ha un punto angoloso...

ciao

[Mortimer1]

Il punto angoloso c'è, ma in $e^-1$. In quel punto il valore della derivata dx è diversa dalla derivata sx.
Innanzitutto hai trovato il dominio? Hai calcolato la derivata prima?

[Mortimer1]

[quote=jack]
$-lnx-1$ per $0<=x<=1/e$;

Un errore di battitura Jack:$-lnx-1$ per $0

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[jack110]

"Mortimer":
Un errore di battitura Jack:$-lnx-1$ per $0


lapsus calami...

ciao

[Skorpjone]

si, mortimer, avevo fatto proprio così come dice jack e proprio in 1/e mi veniva il punto angoloso...... a questo punto c'è un errore nel fascicolo che come ricordo segna il punto angoloso in e-1....volevo solo conferma.....per quanto riguarda il calcolo tramite differenziale?

[Camillo]

$ 1/e = e^(-1) $ .Forse questo spiega tutto; il libro invece di scrivere $ e^(-1) $ ha scritto $ e-1 $.

[Mortimer1]

Scusa Skorpjone, non ho capito il significato di quei due valori nell'argomento della funzione arcotangente.
comunque ti faccio un esempio sulla funzione sin.
Vogliamo calcolare il valore della funzione $sin(31^°)$
$sin(30^°)=1/2$ quindi $sin(31^°)=sin(pi/6+pi/180)$
Ora $deltaf=f^{\prime}(x)deltax$ Il prodotto che figura a destra di questa uguaglianza è il differenziale dalla funzione $f$
Qundi sostituendo i valori abbiamo $dsin(x)deltax$=$cosxdeltax=cos(pi/6)(pi/180)=3/sqrt2*(pi/180)=deltaf$
$sin(31^°)=1/2+deltaf$ e così sappiamo il valore approssimato
Mi pare che si possa applicare il concetto di differenziale per il calcolo approssimato di funzioni anche in altri modi ma conosco solo questo.

[Skorpjone]

mmmm......l'esempio mi lascia confuso lo stesso, potresti svilupparmi $sqrt(65)$? l'argomento dell'arcotg è il valore $0,98$ (1 - 0,02, per intenderci!).....cioè, come faccio sviluppando il concetto,di differenziale (che a livello di concetto, ho capito cosa è, intendiamoci....) a dimostrare che $sqrt(65)$ è uguale a 8,0625 (così come mi dice il testo)???

[Mortimer1]

$f(x)=sqrtx$
$f^{\prime}(x)=1/(2sqrtx)$ ; Sappiamo che $sqrt65inR$ tuttavia $sqrt64=8inN$
Sostituendo i valori $1/(2(8))=1/16=0.0625$ E' questo quindi il valore differenziale della funzione
$8+0.0625=8.0625$ Se calcoli con la calcolatrice $sqrt65=8.06225....$
Abbiamo ottenuto un'approssimazione dell'ordine di $10^-3$