Punti di non derivabilità di una funzione

[Bluye]

Ciao. Ho un dubbio che non mi riesce di risolvere.
Considero una f(x) con dominio x maggiore o uguale a 0; la sua derivata f'(x) ha dominio x diverso da 0. Il mio obiettivo è trovare gli eventuali punti singolari (punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale) della funzione. Cerco questi punti solo dove la funzione f(x) è continua, quindi solo per x maggiore o uguale a 0.
Le mie domande sono queste:
1) ha senso cercare punti singolari in x=0, benchè io possa calcolare solamente il limite unilatero da destra della derivata dato che da sinistra la funzione non è continua?
2) è giusto parlare di limite della derivata e di limite del rapporto incrementale come se fossero la stessa cosa?
3) i punti singolari sopra citati esistono solo quando esistono entrambi i limiti destro e sinistro per x che tende a x0?

Grazie dell'aiuto che mi darete. A presto.

[*pizzaf40]

Non sono molto esperto di matemetica e spero di non dire fregnacce, però:

1) Direi di sì perchè se $lim_(x to 0)f'(x)=0$ allora la funzione ha un minino lì;
2) Il rapporto incrementale è la sola divisione dei termini che conosci...il limite per $x to x_0$ di esso è la derivata...il limite della derivata quindi non è il limite del rapporto incrementale, ma è il limite del limite per $x to x_0$ del rapporto incrementale;
3) non ne ho assolutamente la certezza, ma il fatto $f(0)$ esista e $f'(0)$ no mi farebbe dire che $x=0$ è un punto singolare anche se non esiste il limite da entrambi i lati...infatti l'eventuale tendenza della derivata ad un valore finito indica un comportamento preciso della funzione e, pur non conoscendo la definizione vera e propria di "punto singolare", direi che si può considerare tale.

[maumirai1]

1)se la funzione è definita ma non è continua a sx dello 0 in x=0 c'è una singolarità; se la funzione non è definita per valori negativi diventa un problema di definizione di "punto singolare" nei bordi ( cioè se a livello di definizione si specifica che un punto di bordo non è singolare se è definita la derivata destra [o sinistra]). Tieni comunque presente che se la derivata dx in 0 esiste la situazione è strutturalmente diversa rispetto a quando il limite dx del rapporto incrementale è Inf.
2) La derivata in un punto [fisso] è il limite del rapporto incrementale (quando questo è finito). Il limite della derivata si ottiene facendo variare il punto in cui si calcola la derivata: sono due cose diverse
3)

[adaBTTLS1]

se la funzione è definita sia in x=0 sia nell'intorno destro di zero, certamente va studiata... poi, se ottieni limite della derivata infinito, come distingui cuspide da flesso a tangente verticale, visto che non è definita nell'intorno sinistro? analogamente se il limite della derivata è finito, zero compreso, potenzialmente non è da escludere che, con un'aggiunta a sinistra, diventi un punto angoloso (potrebbe diventarlo anche nel caso precedente), ma secondo te ha senso parlare di punto angoloso?
quanto a max e min, non sono d'accordo con pizzaf40. se il limite della derivata prima è zero, potrebbe benissimo essere un max e non un min. piuttosto, essendo un estremo dell'intervallo di definizione, va studiato proprio per vedere se è un punto di max o min (perché potenzialmente lo è sempre), ed è sicuramente un max relativo se il limite della derivata è negativo (anche -infinito) ed un min relativo se il limite della derivata è positivo (anche +infinito). se il limite della derivata è zero potrebbe essere l'uno o l'altro (o entrambi se nell'intorno la funzione è costante). poi, naturalmente, la funzione potrebbe essere non derivabile... se è particolarmente "irregolare" potrebbe non essere né un max né un min relativo, ma in casi non insoliti lo è sempre un max o un min relativo. pensa anche alla ricerca dei max e min assoluti e al teorema di Weierstrass.
ciao.