Punti di non derivabilità
Data $f(x)= |x| sqrt(9-x^2)$
i) descriverne uno studio qualitativo
ii)dire quali sono i valori della variabile appartenenti al Dominio nei quali la funzione non è derivabile
Nel punto i) ho deciso di studiare le restrizioni tra -3 e 0 e tra 0 e 3 del dominio della funzione di partenza.
Tuttavia mi servirebbe una conferma sull'esattezza del mio ragionamento per quanto concerne il punto ii):
- chiaramente la funzione valore assoluto è "continua ma non derivabile nei punti in cui il suo argomento si annulla" quindi siamo certi che $x=0$ sia un punto di non derivabilità ed in particolare un punto angoloso
- per quanto riguarda la funzione nella sua interezza quel che ho fatto è stato "concentrare la mia attenzione sui punti che appartengono al Dominio della funzione ma che non appartengono al Dominio della derivata prima" e cioè $x=-3$ed $x=3$.
Visto che la funzione è Continua in questi punti (se non fosse stata continua avrei già potuto classificarli come punti di non derivabilità) , utilizzo lo strumento condizione necessaria e sufficiente (limiti del rapporto incrementale) .
Per $h->0^+$ considero l'argomento del valore assoluto positivo e viceversa per $h->0^-$.
Così facendo ottengo che in corrispondenza di quelle due ascisse ci sono dei punti di cuspide.
Mi chiedo :
1) è corretto?
2) esiste una tabella/elenco delle funzioni elementari che presentano "problemi" di non derivabilità?
i) descriverne uno studio qualitativo
ii)dire quali sono i valori della variabile appartenenti al Dominio nei quali la funzione non è derivabile
Nel punto i) ho deciso di studiare le restrizioni tra -3 e 0 e tra 0 e 3 del dominio della funzione di partenza.
Tuttavia mi servirebbe una conferma sull'esattezza del mio ragionamento per quanto concerne il punto ii):
- chiaramente la funzione valore assoluto è "continua ma non derivabile nei punti in cui il suo argomento si annulla" quindi siamo certi che $x=0$ sia un punto di non derivabilità ed in particolare un punto angoloso
- per quanto riguarda la funzione nella sua interezza quel che ho fatto è stato "concentrare la mia attenzione sui punti che appartengono al Dominio della funzione ma che non appartengono al Dominio della derivata prima" e cioè $x=-3$ed $x=3$.
Visto che la funzione è Continua in questi punti (se non fosse stata continua avrei già potuto classificarli come punti di non derivabilità) , utilizzo lo strumento condizione necessaria e sufficiente (limiti del rapporto incrementale) .
Per $h->0^+$ considero l'argomento del valore assoluto positivo e viceversa per $h->0^-$.
Così facendo ottengo che in corrispondenza di quelle due ascisse ci sono dei punti di cuspide.
Mi chiedo :
1) è corretto?
2) esiste una tabella/elenco delle funzioni elementari che presentano "problemi" di non derivabilità?
Risposte
Il dominio che ho trovato per la funzione è $D=[-3,3]$. La definizione di funzione continua in un punto cosa dice? Secondo me $x=-3,x=3$ non sono punti in cui è continua la funzione, di conseguenza in quei punti non è neanche derivabile. Nota che questi due punti sono nei "bordi" del dominio della funzione. I punti di non derivabilità che trovo io sono $0,-3,3$
"AnalisiZero":
Il dominio che ho trovato per la funzione è $D=[-3,3]$. La definizione di funzione continua in un punto cosa dice? Secondo me $x=-3,x=3$ non sono punti in cui è continua la funzione, di conseguenza in quei punti non è neanche derivabile. Nota che questi due punti sono nei "bordi" del dominio della funzione. I punti di non derivabilità che trovo io sono $0,-3,3$
Sono d'accordo con i punti di non derivabilità, però non su tutto.
Perché dici che $-3$ e $+3$ non sono punti in cui la funzione è continua?
La continuità puntuale si traduce col dire che "il limite di $f(x)$ per $x$ che tende a quel punto del dominio è proprio il valore che otteniamo valutando la funzione in quel punto". La funzione calcolata in $x=-3$ o $x=3$ o i rispettivi limiti daranno $0$, quindi vale la def. di continuità puntuale.
Inoltre dal grafico ottenuto dallo studio di funzione io vedo proprio che la funzione ""si schiaccia"" in $(-3,0)$ ed in $(3,0)$.
Potresti chiarirmelo pls =)
Devi valutare sia limite destro che sinistro per la continuità in un punto.
Potresti considerarla solo come continua da destra per l'estremo $-3$ e da sinistra per l'estremo $3$. Ciò non toglie che "oltre i bordi" non puoi calcolare la derivata (la funzione non esiste).
Potresti considerarla solo come continua da destra per l'estremo $-3$ e da sinistra per l'estremo $3$. Ciò non toglie che "oltre i bordi" non puoi calcolare la derivata (la funzione non esiste).
No, la funzione è continua in 3 e -3, inoltre è una funzione pari quindi basta studiarla solo in $[0,3]$
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