Punti di minimo

[jarsy]

Mi aiutate a dimostrare il seguente teorema?
Se f: I->R, dove I è un intervallo, è una funzione convessa di classe C1(I), allora ogni punto stazionario è di minimo; inoltre se è strettamente convessa e ammette minimo allora il punto di minimo è unico.
Grazie mille!
j

[Fioravante Patrone1]

Basta usare la proprietà che vale nelle tue ipotesi: [tex]f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0)[/tex], per ogni [tex]x,x_0 \in I[/tex].
Se [tex]x_0[/tex] è un punto stazionario, [tex]f'(x_0)=0[/tex] e quindi ne viene che [tex]f(x) \ge f(x_0)[/tex] per ogni [tex]x \in I[/tex].

La risposta alla seconda domanda è facile, per assurdo. Supponi ci siano due punti di minimo distinti, diciamo [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex]. Applica la definizione di stretta convessità e ti ritrovi che in tutti i punti interni dell'intervallo aperto [tex]]x_1, x_2[[/tex] la funzione assume un valore strettamente minore a quello che assume nei due "supposti" punti di minimo.