Punti di massimo e minimo vincolati
Salve, in un esercizio mi si chiede di "determinare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo della funzione
f(x; y) = 64/x +x/y + y nella regione x > 0, y > 0."
Come faccio ad impostare la regione che mi viene assegnata, ho risolto l'esercizio normalmente e il punto critico che ottengo, che poi è un punto di massimo, è (16;-4), ma proprio non ho compreso la questione della regione.
Grazie, Rosy.
f(x; y) = 64/x +x/y + y nella regione x > 0, y > 0."
Come faccio ad impostare la regione che mi viene assegnata, ho risolto l'esercizio normalmente e il punto critico che ottengo, che poi è un punto di massimo, è (16;-4), ma proprio non ho compreso la questione della regione.
Grazie, Rosy.
Risposte
Ciao Rosy,
spero di aver capito bene... ma se x deve essere positiva e y pure la regione che dobbiamo considerare non è il I quadrante, semiassi esclusi?
In tal caso $P(16;-4)$ non va bene come risposta perchè si trova nel IV quadrante.
spero di aver capito bene... ma se x deve essere positiva e y pure la regione che dobbiamo considerare non è il I quadrante, semiassi esclusi?
In tal caso $P(16;-4)$ non va bene come risposta perchè si trova nel IV quadrante.
Sì appunto ma non capisco cosa fare 
Non sono d'accordo sul \(-4\). Infatti il gradiente della funzione data è \[\nabla F(x,y)= \left(-\frac{64}{x^2} + \frac{1}{y}, -\frac{x}{y^2} +1 \right) \]
Siccome siamo su di un aperto, i punti di massimo o minimo sono punti critici. Pertanto bisogna risolvere il seguente sistema non lineare \[\begin{cases} \frac{1}{y} = \frac{64}{x^2} \\ \frac{x}{y^2} =1 \end{cases} \longrightarrow \begin{cases} \frac{1}{y} = \frac{64}{y^4} \\ x=y^2 \end{cases} \]donde si ottiene, dalla prima delle due equazioni, \[y^4 -64y=0 \longrightarrow y=\sqrt[3]{64}=4\]
Siccome siamo su di un aperto, i punti di massimo o minimo sono punti critici. Pertanto bisogna risolvere il seguente sistema non lineare \[\begin{cases} \frac{1}{y} = \frac{64}{x^2} \\ \frac{x}{y^2} =1 \end{cases} \longrightarrow \begin{cases} \frac{1}{y} = \frac{64}{y^4} \\ x=y^2 \end{cases} \]donde si ottiene, dalla prima delle due equazioni, \[y^4 -64y=0 \longrightarrow y=\sqrt[3]{64}=4\]
La questione è poco chiara perché sei su un esercizio facile su una regione ancora più facile, come trovi il minimo della funzione su $x,y>0$?
"Maci86":
La questione è poco chiara perché sei su un esercizio facile su una regione ancora più facile, come trovi il minimo della funzione su $x,y>0$?
?
A parte che è un minimo, e non è un massimo, volevo far capire l'importanza dei vincoli al domandante, non era un commento al tuo intervento 
"Maci86":
A parte che è un minimo, e non è un massimo, volevo far capire l'importanza dei vincoli al domandante, non era un commento al tuo intervento
Ok ok, no problem.
"Delirium":
Non sono d'accordo sul \(-4\). Infatti il gradiente della funzione data è \[\nabla F(x,y)= \left(-\frac{64}{x^2} + \frac{1}{y}, -\frac{x}{y^2} +1 \right) \]
Io trovo \[\nabla F(x,y)= \left(\frac{64}{x^2} + \frac{1}{y}, \frac{x}{y^2} +1 \right) \], perchè dovrebbe esserci il meno?
In ogni caso, qualcuno potrebbe spiegarmi la questione dei vincoli?
$d/(dx) ( 1/x) = - 1/x^2$
Immagina di trovare il minimo di quella funzione su questo vincolo:
(x-1)^2+(y-1)^2≤1
Cioè se hai questo come dominio di partenza la tua funzione, essendo su un compatto, avrà un massimo e minimo, come agiresti per trovarli?
(x-1)^2+(y-1)^2≤1
Cioè se hai questo come dominio di partenza la tua funzione, essendo su un compatto, avrà un massimo e minimo, come agiresti per trovarli?
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