Punti di massimo e minimo relativi ed assoluti di una funzione

[Diggi1]

Buona sera a tutti ho qui una funzione che mi sta dando particolarmente fastidio, soprattuto per quanto riguarda lo studio dei massimi e minimi: $f(x)= xln (3-|x-1|) $.
Dopo averne calcolato il dominio ed i limiti per capirne l'andamento generale, mi sono bloccato allla derivata prima, nel senso che non riesco a trovare gli eventuali punti di interesse (impostando il tutto uguale a zero esce fuori una brutta equazione!). Avete qualche consiglio?

[Ziben]

Ciao,
ripercorro i tuoi passi: dominio $D=(-2,4)$ che si può spezzare in due per eliminare il valore assoluto; per esempio $f(x)= xlog(4-x)$ se $1\leq x <4$
Faccio la derivata che avrà valore in tale restrizione del dominio (in $x=1$ la presenza del valore assoluto fa sospettare che la derivata di $f$ complessiva non esista). Se non ho sbagliato la derivata è:

$f'(x) = log(4-x)-x/(4-x)$ e qui nasce la"brutta" disequazione di cui purtroppo non ci si può liberare:

$log(4-x)-x/(4-x) \geq 0$. Io qui comincio a fare valutazioni. la derivata sarà positiva (e quindi $f$ crescente) quando:

$log(4-x) > x/(4-x)$. La funzione $g(x)=x/(4-x)$ in $[1,4)$ è strettamente crescente e sempre positiva, vale $1/3$ per $x=1$ e tende a $+\infty$ per $x->4^-$
La funzione $h(x)=log(4-x)$ è invece strettamente decrescente in $[1,4)$, vale $log3>1/3$ per $x=1$ mentre tende a $-\infty$ per $x->4^-$, diventa negativa per $x>3$. La monotonia delle due funzioni e il fatto che in $x=1$ si ha $h(1)>g(1)$ mentre per $x>3$ $h(x) Ora tale valore $x_0$ purtroppo lo puoi solo stimare con approssimazione a piacere però puoi dire che:

per $10$ e quindi $f$ crescente mentre per $x_0
Per la parte restante cioè per $x in (-2,1)$ si faranno considerazioni analoghe.

Scusa se ti ho fatto confusione o se l'ho fatta troppo lunga, ma spero di esserti stato d'aiuto.

[Diggi1]

Ti ringrazio tantissimo Ziben! Avevo pensato ad una risoluzione di questo tipo, ma non ne ho avuto il 'coraggio' di testarla sul serio Quindi i punti di max. e min. potranno essere solamente trovati a livello intuitivo, giusto?

[Ziben]

Beh, dire a "livello intuitivo" è un po' esagerato perché abbiamo dimostrato che la soluzione c'è, ma capisco quello che intendi. La morale è che quando capitano equazioni "brutte" come quelle che abbiamo trattato quello che si può dire è se la soluzione (o le soluzioni) esiste oppure no, e in caso esista si può può solo fare un calcolo approssimato (salvo rari casi fortunati )