Punti di massimo e minimo di funzioni reali di variabili reali in intervalli
Ciao a tutti!
Vorrei chiarimenti sulle modalità di ricerca ed individuazione di massimo (minimo) assoluti in funzioni del tipo:
$ f(x)=(1/2)^(x^3/3-3x + |5x-1| ) $ definita in $ (-6, 3] $ .
Ciò che ho provato a fare è stato scrivere la funzione come:
$ f(x)={ ( (1/2)^(x^3/3-3x + 5x-1 ) ,: x>(1/5)),( (1/2)^(x^3/3-3x -5x + 1), ;x<(1/5)):} $ per poi verificare la continuità come condizione necessaria per la derivabilità. A questo punto calcolo le derivate (anche se ho qualche dubbio, in quanto la la funzione potrebbe non essere derivabile in tutto l'intervallo, quindi dovrei prima verificare la derivabilità, ma non so come fare se non col rapporto incrementale, che diventa un macello!). Se la funzione è derivabile, posso studiare la derivata ottenuta e, ponendola maggiore o uguale a zero, dovrei trovare i punti critici di massimo o minimo. Potete dirmi se faccio correttamente ed eventualmente correggermi ed indicarmi come procedere?
Grazie
Vorrei chiarimenti sulle modalità di ricerca ed individuazione di massimo (minimo) assoluti in funzioni del tipo:
$ f(x)=(1/2)^(x^3/3-3x + |5x-1| ) $ definita in $ (-6, 3] $ .
Ciò che ho provato a fare è stato scrivere la funzione come:
$ f(x)={ ( (1/2)^(x^3/3-3x + 5x-1 ) ,: x>(1/5)),( (1/2)^(x^3/3-3x -5x + 1), ;x<(1/5)):} $ per poi verificare la continuità come condizione necessaria per la derivabilità. A questo punto calcolo le derivate (anche se ho qualche dubbio, in quanto la la funzione potrebbe non essere derivabile in tutto l'intervallo, quindi dovrei prima verificare la derivabilità, ma non so come fare se non col rapporto incrementale, che diventa un macello!). Se la funzione è derivabile, posso studiare la derivata ottenuta e, ponendola maggiore o uguale a zero, dovrei trovare i punti critici di massimo o minimo. Potete dirmi se faccio correttamente ed eventualmente correggermi ed indicarmi come procedere?
Grazie
Risposte
Ciao salt21
Innanzitutto con funzioni come queste conviene riportarsi alla forma esponenziale con il logaritmo naturale ossia scrivere:
$ f(x)= e^ln((1/2)^(x^3/3-3x + |5x-1| ))=e^(ln(1/2)*(x^3/3-3x + |5x-1| ))$
In modo da poter sfruttare le proprietà degli esponenziali.
Poi puoi notare che l'eponenziale è una funzione sempre positiva e crescente e, sotto certe condizioni, puoi studiarne l'esponente.
Prova ad andare avanti.
Bye
"salt21":
Ciao a tutti!
Vorrei chiarimenti sulle modalità di ricerca ed individuazione di massimo (minimo) assoluti in funzioni del tipo:
$ f(x)=(1/2)^(x^3/3-3x + |5x-1| ) $ definita in $ (-6, 3] $ .
Ciò che ho provato a fare è stato scrivere la funzione come:
$ f(x)={ ( (1/2)^(x^3/3-3x + 5x-1 ) ,: x>(1/5)),( (1/2)^(x^3/3-3x -5x + 1), ;x<(1/5)):} $
Innanzitutto con funzioni come queste conviene riportarsi alla forma esponenziale con il logaritmo naturale ossia scrivere:
$ f(x)= e^ln((1/2)^(x^3/3-3x + |5x-1| ))=e^(ln(1/2)*(x^3/3-3x + |5x-1| ))$
In modo da poter sfruttare le proprietà degli esponenziali.
Poi puoi notare che l'eponenziale è una funzione sempre positiva e crescente e, sotto certe condizioni, puoi studiarne l'esponente.
Prova ad andare avanti.
Bye
Certo, per ottenere la derivata avrei sicuramente proceduto come suggerisci, però inizialmente avevo pensato di considerare i due intervalli in relazione al valore assoluto. Dunque, procedendo come dici, avendo la funzione così ottenuta ne faccio la derivata prima (posso farlo direttamente o devo prima vagliare determinate condizioni?! Ovvero: si tratta di una funzione esponenziale di cui conosco le proprietà ma con esponente che non è semplicemente x. Questo può permettermi di concludere che la funzione è derivabile oppure devo verificarlo in qualche modo?!). Essa si compone di un prodotto di cui la prima parte è l'esponenziale stesso, la seconda è la derivata prima dell'esponente. Il segno della derivata dipende unicamente dal segno del fattore "derivata esponente", in quanto, come già detto l'esponenziale è una funzione sempre positiva. Dunque ne studio il segno e a questo punto dovrei trovare i miei "punti critici". E' corretto?
Allora una funzione
$ f:mathbb(R)rarr mathbb(R) $
è derivabile in $x_0$ se e solo se esiste derivata destra e sinistra di $f(x)$ in $x_0$ e risulta:
$f'_+(x_0)=f'_(-) (x_0)$
Nel nostro caso per l'esponenziale vale:
$ d/dxe^(f(x))=e^(f(x))d/dx(f(x)) $
quindi, nel dominio naturale della funzione $e^(f(x))$, la sua derivabilità dipende dalla derivabilità di $f(x)$.
Corretto.
Attenzione a $ln(1/2)$ che cambia il segno dell'esponente.
Bye
$ f:mathbb(R)rarr mathbb(R) $
è derivabile in $x_0$ se e solo se esiste derivata destra e sinistra di $f(x)$ in $x_0$ e risulta:
$f'_+(x_0)=f'_(-) (x_0)$
Nel nostro caso per l'esponenziale vale:
$ d/dxe^(f(x))=e^(f(x))d/dx(f(x)) $
quindi, nel dominio naturale della funzione $e^(f(x))$, la sua derivabilità dipende dalla derivabilità di $f(x)$.
"salt21":
Il segno della derivata dipende unicamente dal segno del fattore "derivata esponente", in quanto, come già detto l'esponenziale è una funzione sempre positiva. Dunque ne studio il segno e a questo punto dovrei trovare i miei "punti critici". E' corretto?
Corretto.
Attenzione a $ln(1/2)$ che cambia il segno dell'esponente.
Bye
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