Punti di Lebesgue per una funzione continua
L'esercizio è il seguente:
"Dimostrare che:
se \(\displaystyle f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \) è continua su \(\displaystyle [a,b] \) allora ogni \(\displaystyle x \in [a,b] \) è un punto di Lebesgue per \(\displaystyle f \), cioè verifica:
\(\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{|h|} \int_{x}^{x+h} |f(t) - f(x)| dt = 0 \)."
Non so se sia giusto, ma io ho provato a dimostrarlo così:
Sia \(\displaystyle x \in [a,b] \). Poiché \(\displaystyle f \) è continua in \(\displaystyle x \), fissato \(\displaystyle \varepsilon >0, \exists \delta = \delta(\varepsilon, x) > 0 \): se \(\displaystyle |t - x | < \delta \) allora \(\displaystyle |f(t) - f(x)| < \varepsilon \).
Allora, se ci si pone nell'intorno di \(\displaystyle x \) in cui \(\displaystyle |h|<\delta \), si ha \(\displaystyle |t - x | < \delta \Rightarrow \int_{x}^{x+h} |f(t) - f(x)| dt < \int_{x}^{x+h} \varepsilon dt = \varepsilon h \).
Perciò \(\displaystyle \vert \ \frac{1}{|h|} \int_{x}^{x+h} |f(t) - f(x)| dt - 0 \ \vert < \vert \ \frac{1}{|h|} \varepsilon h \ \vert = \varepsilon \)
ovvero, con la stessa scelta di \(\displaystyle \delta \) della continuità, \(\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{|h|} \int_{x}^{x+h} |f(t) - f(x)| dt = 0 \).
Il professore aveva suggerito di usare il teorema della media integrale, ma io non ci sono riuscito, quindi ho dei dubbi sul fatto che sia giusto quello che ho scritto...
"Dimostrare che:
se \(\displaystyle f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \) è continua su \(\displaystyle [a,b] \) allora ogni \(\displaystyle x \in [a,b] \) è un punto di Lebesgue per \(\displaystyle f \), cioè verifica:
\(\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{|h|} \int_{x}^{x+h} |f(t) - f(x)| dt = 0 \)."
Non so se sia giusto, ma io ho provato a dimostrarlo così:
Sia \(\displaystyle x \in [a,b] \). Poiché \(\displaystyle f \) è continua in \(\displaystyle x \), fissato \(\displaystyle \varepsilon >0, \exists \delta = \delta(\varepsilon, x) > 0 \): se \(\displaystyle |t - x | < \delta \) allora \(\displaystyle |f(t) - f(x)| < \varepsilon \).
Allora, se ci si pone nell'intorno di \(\displaystyle x \) in cui \(\displaystyle |h|<\delta \), si ha \(\displaystyle |t - x | < \delta \Rightarrow \int_{x}^{x+h} |f(t) - f(x)| dt < \int_{x}^{x+h} \varepsilon dt = \varepsilon h \).
Perciò \(\displaystyle \vert \ \frac{1}{|h|} \int_{x}^{x+h} |f(t) - f(x)| dt - 0 \ \vert < \vert \ \frac{1}{|h|} \varepsilon h \ \vert = \varepsilon \)
ovvero, con la stessa scelta di \(\displaystyle \delta \) della continuità, \(\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{|h|} \int_{x}^{x+h} |f(t) - f(x)| dt = 0 \).
Il professore aveva suggerito di usare il teorema della media integrale, ma io non ci sono riuscito, quindi ho dei dubbi sul fatto che sia giusto quello che ho scritto...
Risposte
Io non vedo errori...
Tu hai qualche dubbio?
Tu hai qualche dubbio?
Ma non hai proprio provato a seguire il suggerimento del professore? Con il teorema della media integrale dimostri questa proposizione in una riga. Ti ricordo il teorema: se \(g\colon [a, b]\to \mathbb{R}\) è una funzione continua allora la sua media integrale è un valore assunto dalla funzione, ovvero esiste \(x_0\in [a, b]\) tale che
\[
g(x_0)=\frac{1}{b-a}\int_a^b g(t)\, dt.\]
Prova ad applicare questo teorema alla funzione \(\lvert f-f(x)\rvert\) nell'intervallo \([x, x+h]\). Che succede?
\[
g(x_0)=\frac{1}{b-a}\int_a^b g(t)\, dt.\]
Prova ad applicare questo teorema alla funzione \(\lvert f-f(x)\rvert\) nell'intervallo \([x, x+h]\). Che succede?
"dissonance":
Che succede?
Succede che \(\displaystyle \exists x_0 \in [x,x+h] \) : \(\displaystyle \frac{1}{|h|} \int_{x}^{x+h} |f(t) - f(x)| dt = |f(x_0) - f(x)| \), e analogamente si può fare nel caso \(\displaystyle h<0 \). Quindi a patto di scegliere \(\displaystyle |h| < \delta \), si ha \(\displaystyle x_0 \in (x-\delta, x+\delta) \), da cui \(\displaystyle |f(x_0) - f(x)| < \varepsilon \).
Effettivamente così si giunge allo stesso risultato a cui ero pervenuto io... magari è più elegante come dimostrazione, ma mi sembra meno immediata.
"dissonance":
Ma non hai proprio provato a seguire il suggerimento del professore?
Veramente no...
Però mi giustifico dicendo che avevo aperto questa discussione per sapere se andava bene anche come avevo fatto io!
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