Punti di Lebesgue, esponente $p>1$
Salve a tutti. Ricordo il famoso teorema di Lebesgue:
sia $ \u in L_{loc}^1(\mathbb{R}^n)$. Allora, per quasi ogni $x \in \mathbb{R}^n$,
$$\lim_{r \to 0} \frac{1}{m(B_r(x))}\int_{B_r(x)} |u(y)-u(x)|dy = 0.$$
Io avrei bisogno del seguente risultato (sto sostituendo $p$ a $1$):
sia $ \u in L_{loc}^p(\mathbb{R}^n)$. Allora, per quasi ogni $x \in \mathbb{R}^n$,
$$\lim_{r \to 0} \frac{1}{m(B_r(x))}\int_{B_r(x)} |u(y)-u(x)|^p dy = 0.$$
(si può tranquillamente supporre $p \ne \infty$).
Ora, penso che la cosa sia piuttosto semplice, ma non sono sicurissimo nell'aggiustare i dettagli. In particolare, se ripeto la dimostrazione per funzioni in spazi $L^p$, ho qualche problema nell'utilizzare la stima debole di Hardy Littlewood. Avete suggerimenti per ottenere il risultato ch emi interessa? E' probabile che mi stia perdendo in un bicchier d'acqua (e che magari una volta dimostrato il teorema per $p=1$, sia facile ottenere la tesi che mi interessa senza ripetere la dimostrazione). Grazie.
sia $ \u in L_{loc}^1(\mathbb{R}^n)$. Allora, per quasi ogni $x \in \mathbb{R}^n$,
$$\lim_{r \to 0} \frac{1}{m(B_r(x))}\int_{B_r(x)} |u(y)-u(x)|dy = 0.$$
Io avrei bisogno del seguente risultato (sto sostituendo $p$ a $1$):
sia $ \u in L_{loc}^p(\mathbb{R}^n)$. Allora, per quasi ogni $x \in \mathbb{R}^n$,
$$\lim_{r \to 0} \frac{1}{m(B_r(x))}\int_{B_r(x)} |u(y)-u(x)|^p dy = 0.$$
(si può tranquillamente supporre $p \ne \infty$).
Ora, penso che la cosa sia piuttosto semplice, ma non sono sicurissimo nell'aggiustare i dettagli. In particolare, se ripeto la dimostrazione per funzioni in spazi $L^p$, ho qualche problema nell'utilizzare la stima debole di Hardy Littlewood. Avete suggerimenti per ottenere il risultato ch emi interessa? E' probabile che mi stia perdendo in un bicchier d'acqua (e che magari una volta dimostrato il teorema per $p=1$, sia facile ottenere la tesi che mi interessa senza ripetere la dimostrazione). Grazie.
Risposte
Anche senza ripercorrere la dimostrazione, ci si può ricondurre al caso \(p=1\).
Infatti, se \(u\in L^p_{loc}\) (con \(p>1\)), per ogni \(z\in\mathbb{R}\) hai che la funzione \(g_z(x) := |u(x) - z|^p\) appartiene a \(L^1_{loc}\); in particolare, esiste un insieme \(E_z\subset\mathbb{R}^n\) di misura nulla tale che i punti di \(\mathbb{R}^n\setminus E_z\) sono punti di Lebesgue per \(g_z\).
Considera ora un sottoinsieme numerabile denso \(D\subset\mathbb{R}\) (ad esempio, prendi \(D = \mathbb{Q}\)).
L'insieme \(E := \bigcup_{z\in D} E_z\) ha misura nulla, essendo un'unione numerabile di insiemi di misura nulla; per quanto detto sopra
\[
\lim_{r\to 0} \frac{1}{m(B_r(x))} \int_{B_r(x)} |u(y) - z|^p dy = |u(x) - z|^p,
\qquad \forall z\in D, \ \forall x\not\in E.
\]
Di conseguenza, per \(z\in D\) e \(x\not\in E\),
\[
\limsup_{r\to 0} \frac{1}{m(B_r(x))} \int_{B_r(x)} |u(y) - u(x)|^p dy \leq
\limsup_{r\to 0} \frac{1}{m(B_r(x))} \int_{B_r(x)} 2^{p-1}|u(y) - z|^p dy + 2^{p-1}|z-u(x)|^p
= 2^p |u(x) - z|^p.
\]
Poiché tale disuguaglianza vale per ogni \(z\in D\), e \(D\) è denso in \(\mathbb{R}\), segue che il \(\limsup\) è nullo per tutti i valori \(x\not\in E\).
Infatti, se \(u\in L^p_{loc}\) (con \(p>1\)), per ogni \(z\in\mathbb{R}\) hai che la funzione \(g_z(x) := |u(x) - z|^p\) appartiene a \(L^1_{loc}\); in particolare, esiste un insieme \(E_z\subset\mathbb{R}^n\) di misura nulla tale che i punti di \(\mathbb{R}^n\setminus E_z\) sono punti di Lebesgue per \(g_z\).
Considera ora un sottoinsieme numerabile denso \(D\subset\mathbb{R}\) (ad esempio, prendi \(D = \mathbb{Q}\)).
L'insieme \(E := \bigcup_{z\in D} E_z\) ha misura nulla, essendo un'unione numerabile di insiemi di misura nulla; per quanto detto sopra
\[
\lim_{r\to 0} \frac{1}{m(B_r(x))} \int_{B_r(x)} |u(y) - z|^p dy = |u(x) - z|^p,
\qquad \forall z\in D, \ \forall x\not\in E.
\]
Di conseguenza, per \(z\in D\) e \(x\not\in E\),
\[
\limsup_{r\to 0} \frac{1}{m(B_r(x))} \int_{B_r(x)} |u(y) - u(x)|^p dy \leq
\limsup_{r\to 0} \frac{1}{m(B_r(x))} \int_{B_r(x)} 2^{p-1}|u(y) - z|^p dy + 2^{p-1}|z-u(x)|^p
= 2^p |u(x) - z|^p.
\]
Poiché tale disuguaglianza vale per ogni \(z\in D\), e \(D\) è denso in \(\mathbb{R}\), segue che il \(\limsup\) è nullo per tutti i valori \(x\not\in E\).
Perdonami, ho visto la risposta con ritardo. Ogni passaggio è chiaro ed il risultato è quello voluto. Avevo tentato una cosa del genere ma in maniera molto più "sporca". Che dire? Grazie mille! 
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