Punti di frontiera
Salve a tutti.
Rivedendo gli appunti del mio docente di Analisi Matematica mi sono imbattuto in una affermazione che non riesco a comprendere pienamente:
"se $x_0 in partialI$ (frontiera di I) e contemporaneamente $x_0 notin I$ ($I sube RR^n$) allora $x_0$ è di accumulazione per I. Viceversa se $x_0 in partialI$ e contemporaneamente $x_0 in I$ allora $x_0$ non è detto che sia di accumulazione per I"
Qualcuno potrebbe spiegarmi il perchè?
Rivedendo gli appunti del mio docente di Analisi Matematica mi sono imbattuto in una affermazione che non riesco a comprendere pienamente:
"se $x_0 in partialI$ (frontiera di I) e contemporaneamente $x_0 notin I$ ($I sube RR^n$) allora $x_0$ è di accumulazione per I. Viceversa se $x_0 in partialI$ e contemporaneamente $x_0 in I$ allora $x_0$ non è detto che sia di accumulazione per I"
Qualcuno potrebbe spiegarmi il perchè?
Risposte
Se $x_0\in\partial I$, allora ogni intorno di $x_0$ deve intersecare sia $I$ che che il suo complementare $I^C$.
D'altra parte, se \( x_0\not\in I\), deduci in particolare che ogni intorno di $x_0$ contiene punti di $I$ distinti da $x_0$; questo dovrebbe dirti qualcosa.
Per la seconda parte, basta che prendi $I = \{x_0\}$ o, più in generale, basta che $x_0$ sia un punto isolato di $I$.
D'altra parte, se \( x_0\not\in I\), deduci in particolare che ogni intorno di $x_0$ contiene punti di $I$ distinti da $x_0$; questo dovrebbe dirti qualcosa.
Per la seconda parte, basta che prendi $I = \{x_0\}$ o, più in generale, basta che $x_0$ sia un punto isolato di $I$.
Chiarissimo!!! Grazie. 
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